第1章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

第2课时　基本不等式的应用 学业标准 素养目标 1．会用基本不等式求简单函数的最值．(重点) 2．会用基本不等式解决实际问题．(难点) 1．借助基本不等式求最值，提升数学运算核心素养． 2．通过基本不等式的实际应用，培养数学建模核心素养． [教材梳理] 导学　基本不等式求最值 　已知函数y＝x(1－x)(0＜x＜1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能． ∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 又∵≥，∴ab≤， ∴x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，该函数有最大值. ◎结论形成 基本不等式与最值 已知x，y都是正数时，下列命题均成立． 和定积 最大 若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得__最大值__ 积定和 最小 若xy＝p(积为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得__最小值2__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个正数的和为定值，则它们的积有最大值．(　　) (2)x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　) (3)若x＞0，则函数f(x)＝x2＋的最小值等于4.(　　) (4)若不等式a≥y(关于x的函数)恒成立，则a≥ymax.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　 　　 B．a　　　　 C．　　 D．3 解析　a＞1，∴a－1＞0， ∴a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝3. 答案　D 3．已知a＋b＝1，a＞0，b＞0，则＋的最小值为(　　) A.2 B．3 C．4 D．5 解析　＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2 ＝4. 当且仅当a＝b＝时“等号”成立． 答案　C 4．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为____________． 解析　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 即x＝，y＝. 答案　 题型一　利用基本不等式求最值题点多探 多维探究 角度1　“不正”问题 　已知x＜0，则3x＋的最大值为__________． [解析]　因为x＜0，所以－x＞0. 则3x＋＝－ ≤－2＝－12， 当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12. [答案]　－12 角度2　“不定”问题 　(1)已知x＞2，则x＋的最小值为____________． (2)已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值为____________． [解析]　(1)因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，所以当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，x＋的最小值为4. (2)因为0＜x＜，所以1－2x＞0， 所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x， 即x＝时，x(1－2x)的最大值为. [答案]　(1)4　(2) ●素养聚焦　利用基本不等式求最值，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． ●方法技巧 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． [触类旁通] 1．已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值． 解析　∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. 题型二　含有多个变量的条件求最值一题多变 　已知正数a，b满足＋＝3，求ab的取值范围． [解析]　由＋＝3，得a＋b＝3ab. 因为a＋b≥2， 所以3ab≥2，即9(ab)2≥4ab. 因为a＞0，b＞0， 所以ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 故ab的取值范围是. [母题变式] 本例中，若将条件改为“正数a，b满足2a＋b＋6＝ab”，则ab的最小值为____________． 解析　由2a＋b＋6＝ab，可得2a＋b＝ab－6. 因为2a＋b≥2， 所以ab－6≥2，即ab－6≥2·， 因此ab－2·－6≥0， 解得≥3或≤－(舍去)，即ab≥18，当且仅当a＝3，b＝6时，等号成立． 故ab的最小值为18. 答案　18 ●素养聚焦　利用含有条件的基本不等式最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． ◆规律方法 含有多个变量的条件最值问题 一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行