第1章 3.1 不等式的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§3　不等式 §3.1　不等式的性质 学业标准 素养目标 1．掌握不等式的性质，并能利用不等式的性质，比较数与式的大小或证明简单的不等式．(重点) 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 1．借助不等式的性质的应用，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模等核心素养． [教材梳理] 导学1　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜b. 依据 如果a＞b，那么__a－b＞0__． 如果a＜b，那么__a－b＜0__． 如果a＝b，那么__a－b＝0__ 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的__差__与__0__的大小关系 导学2　不等式的性质 　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立． 　如果a＞b，那么a2＞b2成立吗？ [提示]　不一定成立． ◎结论形成 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒__a＞c__ 2 可加性 a＞b⇔a＋c__＞__b＋c 可逆 3 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的 符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 4 同向相加 a＞b, c＞d⇒a＋c＞b＋d 5 同向 相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0, c＜d＜0⇒ac＜bd 6 开方 a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2. (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＞b－d　　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c 解析　因为b＜a，d＜c，所以b＋d＜a＋c. 答案　C 3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax 解析　因为x＜a＜0，不等号两边同时乘a，则ax＞a2；不等号两边同时乘x，则x2＞ax，故x2＞ax＞a2. 答案　B 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为____________． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N 题型一　用不等式(组)表示不等关系 　(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [解析]　(1)v≤40. (2) ◆规律方法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式． [触类旁通] 1．用不等式表示下列关系： (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 解析　(1)1＜x≤6. (2)2≤x2＋y2≤10. 题型二　比较两个数(式)的大小 　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [解析]　解法一(作差法) －(＋) ＝＋＝＋ ＝＝. ∵a，b为正实数， ∴＋＞0，＞0，(－)2≥0， ∴≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). 解法二(作商法) ＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋＞0，＋＞0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). 解法三(平方后作差) ∵＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2， ∴－(＋)2＝. ∵a＞0，b＞0，∴≥0， 又＋＞0，＋＞0， 故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号). ◆规律方法 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断