第1章 2.2 全称量词与存在量词-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§2.2　全称量词与存在量词 学业标准 素养目标 1．理解全称量词和存在量词的意义．(难点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 3．能判断含有一个量词的命题的真假．(重点) 1．通过全称量词与存在量词的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　全称量词命题与存在量词命题 　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ [提示]　关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词． 　如何判定一个全称量词命题的真假？ [提示]　要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 　如何判定一个存在量词命题的真假？ [提示]　要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，命题就是假命题． ◎结论形成 1．全称量词命题与全称量词 在给定集合中，断言__所有__元素都具有__同一种性质__的命题叫作全称量词命题. 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“__∀__”表示，读作“__对任意的__”． 2．存在量词命题与存在量词 在给定集合中，断言__某些__元素都具有__一种性质__的命题叫作存在量词命题. 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“__∃__”表示，读作“__存在__”． 导学2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　如何写出一个含有量词的命题的否定？ [提示]　一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． ◎结论形成 全称量词命题与存在量词命题否定 p 否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是__存在量词命题__ 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x) __∀x∈M，x不具有性质p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) 解析　(1)命题p与¬p互为否定． (2)存在量词命题p与其否定¬p一真一假． (3)存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”． (4)正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　) A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．梯形的对角线不相等 C．∃x0∈R, ＝x0 D．所有的集合都有子集 解析　全称命题有A，B，D三项，C为特效命题，对于A，有a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A为假命题；对于B，等腰梯形的对角线相等，B为假命题；D正确． 答案　D 3．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的质数都是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数，x2也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案　B 4．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1＞0　 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 解析　根据命题p可得¬p：∃x∈R，x2＋1≤0. 答案　B 题型一　全称量词命题和存在量词命题的概念及真假判断 　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. [解析]　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． ◆规律方法 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [触类旁通] 1．判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈Z，使3x＋4＝0； (3)至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3. 解析　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)由于3x＋4＝5成立