第1章 2.1 第2课时 充要条件-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

第2课时　充要条件 学业标准 素养目标 1．理解充要条件的意义．(难点) 2．掌握判断、证明充要条件的一般方法．(重点) 1．借助充要条件的理解、判定与证明，提升直观想象、逻辑推理等核心素养． 2．通过充要条件的应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　充要条件 　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A是B的真子集吗？ [提示]　不一定，A⊆B. 　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，又是必要条件，则A与B的关系怎样？ [提示]　A＝B. ◎结论形成 1．充要条件 一般地，如果__p⇒q__，且__q⇒p__，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的__充要条件__，记作__p⇔q__． 2．常见的四种条件 (1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp. (2)必要不充分条件，即__pq而q⇒p__． (3)充要条件，即__p⇒q，q⇒p__． (4)既不充分又不必要条件，即pq，qp. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　) (4)(x－1)(x－2)＝0的充要条件是x＝1且x＝2.(　　) 解析　(1)当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确． (2)若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确． (3)因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． (4)x＝1或x＝2. 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a与b异号且负数绝对值大时，也有a＋b＜0，所以“a＋b＜0” “a＜0，b＜0”， 显然“a＜0，b＜0”⇒“a＋b＜0”，所以“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的必要而不充分条件． 答案　C 3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x＜0，y＜0　　　　　 B．x＜0，y＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 解析　第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0. 答案　B 4．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空： (1)a＋b＝0是a2＋b2＝0的________________； (2)x＝1或x＝2是x－1＝的____________． 解析　(1)∵a＋b＝0⇒a＝－b a2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＝0且b＝0⇒a＋b＝0， ∴a＋b＝0是a2＋b2＝0的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇔x－1＝， ∴x＝1或x＝2是x－1＝的充要条件． 答案　(1)必要不充分条件　(2)充要条件 题型一　充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab＞0. [解析]　(1)∵p⇒q，q不一定能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不一定能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不一定能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不一定能推出“ab＞0”，即p不能推出q. 而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． ◆规律方法 1．解题时，既要看p是否能推出q，又要看q是否能推出p. 2．本类题是关于充分条件、必要条件、充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q的真假时，也可从集合角度入手，判其真伪，所以结合集合关系理解，对解决逻辑中的相应问题是大有益处的． [触类旁通] 1．下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解析　(1)∵四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平行，∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x2－3x＋2＝0，x2－3x＋2⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条