第1章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§2　常用逻辑用语 §2.1　必要条件与充分条件 学业标准 素养目标 1．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．结合具体命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法． 1．通过必要条件与充分条件的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助充分条件与必要条件的应用，提升逻辑推理等核心素养． 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 [教材梳理] 导学　充分条件与必要条件 　在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ [提示]　条件是两个三角形全等；结论是两个三角形面积相等． 　必要条件与命题“若p，则q”的真假性有什么关系？ [提示]　当命题“若p，则q”为真命题时，q是p的必要条件． ◎结论形成 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p__⇒__q p____q 条件关系 p是q的__充分__条件， q是p的__必要__条件 p不是q的__充分__条件， q不是p的__必要__条件 定理关系 判定定理给出了__结论成立__的充分条件，性质定理给出了__结论成立__的必要条件 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　　) (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (4)a＝0是a2＝0的充分条件又是必要条件．(　　) 解析　(1)因为“x2＝9” “x＝3”． (2)因为“x＞0”D/⇒“x＞1”． (3)不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．使x＞3成立的一个充分条件是(　　) A．x＞4　　　　　　 B．x＞0 C．x＞2 D．x＜2 解析　只有x＞4⇒x＞3，其他选项均不可推出x＞3. 答案　A 3．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的____________条件． 答案　充分 4．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的____________条件． 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 答案　必要 题型一　充分条件的判断 　(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3　 B．x＜3　 C．x＞4　 D．x＜4 (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R. ②若a＜b，则＜1. ③若x＞1，则x2＞1. ④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. ⑤在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC. ⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. (1)[解析]　因为x＞4⇒x＞3.14. 所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4. [答案]　C (2)[解析]　①由于QR，所以p⇒q. 所以p是q的充分条件． ②由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，因此pq，所以p不是q的充分条件． ③由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q， 所以p是q的充分条件． ④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件． ⑤由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． ◆规律方法 1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． 2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． [触类旁通] 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若ab＞0，则a＞0，b＞0. (2)若两个三角形相似，则两个三角形全等． (3)若x为无理数，则x2为无理数． (4)若x＝1，则x2－4x＋3＝0. 解析　(1)ab＞0⇒a＞0，b＞0或a＜0，b＜0a＞0，b＞0， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (2)因为两个三角形相似不一定全等． 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)若x为无理数，则x2不一定为无理数；例如为无理数，则()2＝2不为无理数； 因此pq，所以p不是q的充分条件． (4)因为x＝1⇒x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0， 所以x＝1是x2－4x＋3＝0的充分条件， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：