第1章 1.3 第2课时 全集与补集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

第2课时　全集与补集 [教材梳理] 导学1　全集 　全集是固定的吗？ [提示]　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的． ◎结论形成 1．定义：在研究某些集合时，它们往往是某个__给定集合__的子集，这个给定的集合叫作全集． 2．符号表示：全集通常记作__U__． 导学2　补集 　A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．集合A，B，U有何关系？ [提示]　U＝A∪B. 　补集是固定的吗？ [提示]　补集是以“全集”为前提的，不是固定的，离开了全集，补集就毫无意义了． ◎结论形成 1．定义 自然语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有__不属于__A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作__∁UA__ 符号语言 ∁UA＝__{x|x∈U，且x∉A}__ 图形语言 2．性质 (1)A∪(∁UA)＝__U__；(2)A∩(∁UA)＝__∅__； (3)∁U(∁UA)＝__A__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.(　　) (2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB.(　　) (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．(　　) (4)集合∁RA＝∁QA可能成立．(　　) 解析　(1)由集合补集的定义可知三个等式都成立． (2)画出Venn图可知，此说法正确． (3)根据补集的定义可知，此说法正确． (4)正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M　　　　　　 B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析　由题设，易知M＝{2，4，5}，对比选项，选择A. 答案　A 3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝____________． 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}， ∴∁UA＝{x|0＜x＜1}． 答案　{x|0＜x＜1} 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是____________． 解析　∁UA＝{x|x＜0}，∁UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}．∴∁UA⊆∁UB. 答案　∁UA⊆∁UB 题型一　补集的运算 　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．∅　　　　　　　 B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝{x|x≤2}；③S＝{x|－4≤x≤1}． (1)[解析]　因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}． [答案]　C (2)[解析]　①把集合A表示在数轴上如下图所示． 由图知∁SA＝{x|x＜－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|x＜－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|－4≤x＜－1或x＝1}． ●方法技巧 求集合补集的依据及处理技巧 1．依据：集合补集的定义． 2．两种处理技巧 (1)当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． [触类旁通] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求∁RA，∁RB. 解析　借助数轴，由下图可知： ∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}． 题型二　交、并、补的综合运算 　(1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{0，－2}，则B∩(∁UA)＝(　　) A．{0，1} B．{－2，0} C．{－1，－2} D．{0} (2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB). (1)[解析]　由于A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}， 所以∁UA＝{－1，0，2}， 所以B∩(∁UA)＝{0}，故选D. [答案]　D (2)[解析]　将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x＜－1，或1≤x≤3}； (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}． ◆规律方法 求集合交、并、补运算的方法 [触类旁通] 2．(2021·新高考全国卷Ⅱ)若全集U＝{1，2，3，4，5，6