第1章 1.3 第1课时 交集与并集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

第1课时　交集与并集 [教材梳理] 导学1　交集 　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{3，4}．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ [提示]　有．{3，4}． 　上述问题中，集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ [提示]　集合C中的元素既属于集合A又属于集合B. ◎结论形成 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由既属于集合A又属于集合B的__所有元素__组成的集合叫集合A与B的交集，记作__A∩B__ A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B}__ 2.性质 A∩B＝__B∩A__，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝__∅__． 导学2　并集 　若将上述集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？ [提示]　{1，2，3，4，5，6}． 　新的集合中的元素与集合A，B有什么关系？ [提示]　新的集合中的元素属于集合A或属于集合B. ◎结论形成 1．定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有__属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B A∪B＝__{x|x∈A，或x∈B}__ 2．性质 A∪B＝__B∪A__，A__⊆__A∪B，B__⊆__A∪B，A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集．(　　) (2)若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(　　) (3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．(　　) (4)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　) 解析　(1)根据交集的定义可知此说法不正确，必须是“所有”的． (2)当A∩B＝∅时，A，B可以为∅，也可以不为∅，如A＝{1，2}，B＝{3，4}，A∩B＝∅. (3)求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．所以A，B中分别有3个元素，则A∪B中的元素个数可能是3，4，5，6个． (4)因为(A∩B)⊆(A∪B). 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2022·全国乙卷·文)集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1＜x＜6}，则M∩N＝(　　) A．{2，4}　　　　　 B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10} 解析　由题意知M∩N＝{2，4}，故选A. 答案　A 3．(2022·浙江卷)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} 解析　由并集运算，得A∪B＝{1，2，4，6}，故选D. 答案　D 4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是____________． 解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2. 答案　[2，＋∞) 题型一　交集的概念及应用 　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0，2}　　　　　　　 B．{1，2} C．{0} D．{－2，－1，0，1，2} (2)已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，则A∩B＝____________． (3)集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， ①若B⊆A，求实数m的取值范围． ②若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． (1)[解析]　A∩B＝{0，2}． [答案]　A (2)[解析]　将x≤－2或x＞5及1＜x≤7在数轴上表示出来． 根据交集的定义，图中阴影部分即为所求． 所以A∩B＝{x|5＜x≤7}． [答案]　{x|5<x≤7} (3)[解析]　①当B＝∅时，B⊆A， 此时m＋1＞2m－1，解得m＜2， 当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足 解得2≤m≤3. 综上知实数m的取值范围为m≤3. ②先求A∩B＝∅，当B＝∅时由(1)知m＜2， 当B≠∅时，为使A∩B＝∅，m需满足 或解得m＞4， 综上知当m＜2或m＞4时A∩B＝∅， 所以若A∩B≠∅，实数m的取值范围是2≤m≤4. ●素养聚焦　利用对集合是否为非空的讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． ◆规律方法　 求集合A∩B的常用方法 (1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． (3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意“实”“虚”点． [触类旁通] 1．已知a∈R，集合A＝{－4，