第1章 1.2 集合的基本关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§1.2　集合的基本关系 学业标准 素养目标 1．理解集合之间的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(重点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点) 1．通过集合的基本关系的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助Venn图表示集合的关系的运用，提升直观想象、逻辑推理核心素养． [教材梳理] 导学1　子集与真子集 　给出集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．集合A与集合B有什么关系？集合B中的元素与集合A有什么关系？ [提示]　A中每一个元素都属于B.此时集合B包含集合A.集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中． ◎结论形成 1．子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 定义：如果集合A中的__任意一个__元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集． 规定：空集是任何集合的子集 A__⊆__B(或B__⊇__A)，对于任意一个集合A：∅⊆A 真子集 如果集合A__⊆__B，且__A≠B__，称集合A是集合B的真子集 A____B或(B___A) 2．Venn图 用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的__子集__，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么__A⊆C__． (3)空集是任何集合的子集，即∅⊆A. 导学2　集合相等 　两个集合：A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．A是B的子集吗？B是A的子集吗？两集合相等吗？ [提示]　 A是B的子集且B是A的子集，两集合相等． ◎结论形成 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，即若A⊆B且B⊆A，则A＝B. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集．(　　) (2){0，1，2}⊆{2，0，1}．(　　) (3)若A⊆B，且A≠B，则AB.(　　) (4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}．(　　) 解析　(1)∅只有一个子集． (2){0，1，2}＝{2，0，1}，所以{0，1，2}⊆{2，0，1}． (3)若A⊆B，且A≠B，则AB. (4)∅也是集合{0，1}的子集． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列集合中，是空集的为(　　) A．{0}　　　　　　　　 B．{x|x＞8且x＜5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4} 答案　B 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T B．T⊇P C．P＝T D．PT 解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT. 答案　ABD 4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) 解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}． ∵M＝{－1，0，1}，∴NM. 答案　B 题型一　集合间的关系 　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解析]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. ◆规律方法 1．判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 2．证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3．证明集合间的包含关系，一般用定义． [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，则M与P的关系为(　　) A．M＝P　　　　　　　　 B．M⊆P C．P⊆M D．MP 解析　①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P，由子集定义知M⊆P. ②∵1∈P，