专题10 切线问题（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题10 切线问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如2023年高考全国卷已卷在解答题中考查曲线的切线问题,曲线的切线内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 二、解题秘籍 (一) 求曲线在某点处的切线 求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 【例1】（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）已知函数（）． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）若，则，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）， 当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增 当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． (二)求曲线过某点的切线 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 【例2】（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知函数. (1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程； (2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围. 【解析】（1）时， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程：， 将点带入得：， 此时斜率，所以切线方程为. （2）函数的定义域为，令，则 （1）当时在单调递增， 注意到时，，注意到时，， 故存在，使得，在时单调递减，在时，单调递增，函数有极小值，无极大值，不符合题意. （2）当时，令，令， 所以在单调递增，在单调递减. 当时，当时， 所以， 若，则恒成立，在单调递减，无极值和最值. 若，即，此时存在，使得， 且在有单调递减；在有单调递增，此时为的极大值. 注意到时，要使无最大值，则还应满足， 即，同时， 带入整理得. 由于，且在单调递减，故， 即， 综上实数的取值范围为. (三)求曲线的切线条数 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 【例3】（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知是函数的极值点. (1)求的极值； (2)证明：过点可以作曲线的两条切线. 【解析】（1）因为，所以. 因为是函数的极值点， 所以，所以. 即， 易知当时，；当或时，； 因为在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以当时，取得极大值；当时，取得极小值. （2）设切点， 则切线方程是. 代入得， 整理得. 设，则 . 易知在上单调递减，上单调递增， 上单调递减，上单调递增， 又因，所以在上有且只有一个零点. 又因为，， 所以在上有且只有一个等点. 又因为当时，， 所以在上没有零点； 即有且仅有两个零点，也即过点可以作曲线的两条切线. 综上可知，命题得证. (四)曲线的公切线 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. 【例4】（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数. (1)若.求证：； (2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值. 【解析】（1）当时，， 令，则， 令，因为， 所以在区间上单调递增，且， 所以存在，满足， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则当时，取得最小值， 可得， 因为，所以不成立，故等号不成立，则， 所以当时，. （2）设公切线与两函数的图象分别相切于点和点， 因为， 所以直线的方程可表示为或， 则有，① ，② 由①可得，代入②可得， 即，令，则， 令，则，， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， 又， 根据零点存在定理知，存在，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为在上单调递增，所以， 则， 又为整数，所以，故所求整数的最小值是. (五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围 此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解. 【例5】已知函数, (1)若直线与曲线和分别交于两点且曲线在处的切线与在处的切线相互平行,求的取值范围； (2)设在其定义域内有两个不同的极值点