专题09 指数型函数取对数问题（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题9 指数型函数取对数问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手. 二、解题秘籍 (一) 等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数 通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法. 【例1】（2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. (二) 等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算， 形如或的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级. 【例2】（2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考）已知，，函数和的图像共有三个不同的交点，且有极大值1． (1)求a的值以及b的取值范围； (2)若曲线与的交点的横坐标分别记为，，，且．证明：． 【解析】（1）因为，，所以当时，，， 所以在上单调递增，无极大值； 当时，，， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为极大值点， 所以，解得． 因为，图像共有三个不同的交点， 所以方程有三个不等正实根． 设，则，且当时，t与x一一对应， 所以问题转化为关于t的方程有三个不等实根． 又0不满足方程， 所以方程有三个实根． 设，则函数与函数的图像有三个交点， 当或时，， ，所以在，上单调递增； 当时，， ，所以在上单调递减． 当，时，，而； 当时，， 无论还是，当时，都有， 当时，． 根据以上信息，画出函数的大致图像如下图所示，    所以当时，函数与函数的图像有三个交点， 故b的取值范围为． （2）证明：要证，只需证， 只需证． 设（1）中方程的三个根分别为，，， 且，，，2，3， 从而只需证明． 又由（1）的讨论知，，． 下面先证明，设， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 所以，所以当时，， 从而当，时，． 又由（1）知在，上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，令，解得， 由得； 当时，，令，解得， 由得； 当时，，令，解得， 由得． 综上，，得证． (三) 把比较转化为比较的大小 比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较的大小，可通过取对数转化为比较的大小，再转化为比较的大小，然后可以构造函数，利用的单调性比较大小. 【例3】一天，小锤同学为了比较与的大小，他首先画出了的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了在x=1处的切线方程，利用函数与切线的图像关系进行比较. （1）请利用小锤的思路比較与大小 （2）现提供以下两种类型的曲线，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较的大小. 【解析】（1）构造函数，由f(x)在上单调递增，在上单调递减，得，即，取x=1，得 （2）通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小 选，令与公切于e 则有， 记， ∴在上单调递减，在上单调递增, ，下证： 只需证 只需证 而，即 选，通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小，即较与大小 令与y=kx+t切于，则有 令 ∴在上单调递增，在上单调递减, ，当取等 下证，只需证 ， . 三、典例展示 【例1】（2021全国甲卷高考试题）已知且，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是