第七章 拓展课5 万有引力的应用和综合问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课5　万有引力的应用和综合问题 物理观念 科学态度与责任 1．通过天体运动规律求解天体运行的速度、周期、角速度和向心加速度。 2．通过运动规律解决星体上物体的运动情况。 通过对万有引力的学习，了解天体运动的规律，用所学知识更好地服务生活、生产等。 [对应学生用书P90] 探究点一 万有引力的应用 1．天体运动的分析与计算 一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。 基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr。 注意：其中r为环绕天体做匀速圆周运动的半径。 2．黄金代换式 忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”。 3．环绕天体运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 (1)线速度v：由G＝m得v＝，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。 (2)角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。 (3)周期T：由G＝mr得T＝2π，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。 (4)向心加速度an：由G＝man得an＝，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。 注意：①环绕天体的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与环绕天体的质量无关，即同一轨道上的不同环绕天体具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。 ②环绕天体的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢。 【例1】 (2022·福建宁德高一月考)我国首颗火星探测器天问一号飞行约7个月抵达火星，并经过3个月的环绕飞行后着陆火星。如图所示，关闭动力的天问一号探测器在火星引力作用下经椭圆轨道向火星靠近，然后绕火星做匀速圆周运动。已知探测器绕火星做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，引力常量为G，火星半径为R，下列说法正确的是(　　) A．根据题中条件不能算出火星的重力加速度 B．根据题中条件能算出火星的第一宇宙速度 C．根据题中条件不能算出火星的平均密度 D．根据题中条件可以算出探测器在圆轨道上受到的火星引力大小 B　解析：由G＝mr可得火星的质量M，再由GM＝gR2可得火星的重力加速度，A错误；由mg＝m可得火星的第一宇宙速度，B正确；由ρ＝可得火星的平均密度，C错误；由F＝G可知，因探测器的质量未知，所以无法算出探测器在圆轨道上受到的火星引力的大小，D错误。 [练1] 有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到h高度处时感到自己“漂浮”起来。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球自转角速度为(　　) A． B． C． D． B　解析：在地面上万有引力等于重力，有G＝mg，当人感到自己“漂浮”起来，为完全失重，万有引力全部提供向心力，有G＝mω2(R＋h)，联立解得ω＝，B正确。 [练2] (2022·浙江杭州高一期中)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　) A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的4倍 D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍 D　解析：甲、乙两颗人造卫星质量相等，设卫星质量为m，地球质量为M。卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有＝m，可得v＝，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的速度是乙的，A错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心加速度是乙的，B错误；由F＝G可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心力是乙的，C错误；由开普勒第三定律＝k可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的周期是乙的2倍，D正确。 对于卫星围绕天体运动问题，一般采用万有引力提供向心力列方程解答。比较两个天体的相关物理量，采用比值法解答较为简便。 探究点二 天体运行的综合问题 1．天体运动中的追及相遇问题 两颗天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两颗天体相距最近。若两颗环绕天体的运动轨道在同一个平面内，则两颗环绕天体与中心天体在同一条直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近。两颗环绕天体与中心天体在同一条直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远。 以地球人造卫星为例。设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两颗卫星与地心连线转过的角度相差2π的整数倍，则两颗卫星又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ；如果经过时间t′，两颗卫星与地心连线转过的角度相差π的奇数倍，则两颗卫星相距最远，即ω1t′－ω2t′＝π。 2．在其