专题3.4 函数的应用（一）（讲+练，5大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 函数的应用（一） 知识点一 常见函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)分式函数模型：； (4)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (5)分段函数模型 知识点二 函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 考点01 一次函数模型 【典例1】（2022秋·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（    ） A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 【典例2】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 【规律方法】 在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． 考点02 二次函数模型 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【典例4】（2022·高一课时练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）. (1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数； (2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积. 【温馨提示】 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意实际问题中函数的定义域，否则极易出错． 考点03 分式函数模型 【典例5】（2023·全国·高三对口高考）某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利而另一套亏损，则此商贩__________．（填赚或赔多少钱） 【典例6】（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 (1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【规律方法】 分式函数模型的应用技巧 （1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”. （2）应用“对勾函数”的单调性. 考点04 幂函数模型 【典例7】（陕西西安·统考一模）某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）. (1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【典例8】（2023·全国·高三对口高考）有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p（万元）和q（万元），它们与投入的资金M（万元）的关系近似满足下列公式：，现有万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元？获得的最大利润是多少万元？ 【总结提升】 涉及幂函数型应用问题，往往利用幂函数性质或应用“换元法” 考点05 分段函数模型 【典例9】（2023·全国·高一专题练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月