第5章 §2 2.1 实际问题的函数刻画-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

《作业与测评》新教材 数学·必修第一册 北师版 §2　实际问题中的函数模型 2．1　实际问题的函数刻画 知识点　用函数刻画实际问题 1.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相等 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案　A 解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高． 2．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，修好车后，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s(km)与行进时间t(h)的函数图象的示意图，同学们画出如下的示意图，你认为正确的是(　　) 答案　C 解析　李老师最初以某一速度匀速行进，则s＝vt；中途停下，则s＝s0(定值)，因此排除A；修好车后，仍保持匀速行进，s增大，排除B；修好车后，李老师加快了速度，因此s＝s0＋v′t，但v′>v，即这时函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡，因此排除D.故选C. 3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　) A．y＝0.9576 B．y＝0.9576x C．y＝x D．y＝1－0.0424 答案　A 解析　设镭每年减少的比率为q，依题意有y＝(1－q)x，且(1－q)100＝0.9576，∴1－q＝0.9576，∴y＝0.9576. 4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？ 解　由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y， ∴y＝， ∴S＝x2＋xy＝x2＋x· ＝－2＋. 由得x∈， 当x＝时，Smax＝， 此时y＝＝，即当矩形的宽等于半圆的半径时，窗户透光面积最大． 5．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两位有效数字) 解　设投资额为x万元时，获得的纯利润为y万元．在直角坐标系中画出各数对(x，y)对应的点并依次连接，如图所示，图象接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的纯利润y万元与投资额x万元之间的函数关系，用一次函数描述投资B种商品的纯利润y万元与投资额x万元之间的函数关系． 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，一次函数的解析式为y＝bx. 把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示． 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25. 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示． 令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12，则W＝－0.152＋0.15×2＋2.6(0≤xA≤12)，则当xA＝≈3.2时，W取得最大值0.15×2＋2.6≈4.1，此时xB＝≈8.8. 即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润约为4.1万元. 易错点　图形信息的求解误区 6.如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有哪些？并说明理由． [易错分析]　解决图形信息问题要理解图象表达的