第4章 §2 2.1 对数的运算性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

《作业与测评》新教材 数学·必修第一册 北师版 §2　对数的运算 2．1　对数的运算性质 知识点一　对数的运算性质 1.已知a>0，且a≠1，M>0，N>0，下列说法正确的是(　　) A．logaM·logaN＝loga(M＋N) B.＝loga(M－N) C．loga＝logaM D．logaMn＝logaM 答案　C 解析　由对数的运算性质知A，B，D错误；对于C，loga＝logaM＝logaM，∴C正确．故选C. 2．若ab>0，给出下列三个等式： ①lg ＝lg ＋lg ；②lg ＝lg a－lg b；③lg 2＝lg . 其中一定成立的等式的序号是(　　) A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 答案　D 解析　①②当a<0，b<0时不成立，故选D. 3．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg (xyz)；(2)lg ； (3)lg ；(4)lg . 解　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg ＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg ＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg ＝lg －lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z. 知识点二　利用对数的运算性质求值 4.若lg x－lg y＝a，则 lg 3－lg 3＝(　　) A．3a B．a C．a D． 答案　A 解析　由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a. 5．[多选]下列各式化简运算结果为1的是(　　) A．lg 100－2－1－ln B．lg ＋lg 5 C．loga2(a＞0，且a≠1) D．eln 3－(0.125)－ 答案　AD 解析　对于A，原式＝2－－＝1；对于B，原式＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝；对于C，原式＝2log a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8＝3－2＝1.故选AD. 6．计算或化简下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 50； (2)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (3)loga＋loga＋loga(a＞0，且a≠1)． 解　(1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg (5×10) ＝lg 2·lg 10＋lg 5＋lg 10＝lg 2＋lg 5＋1＝1＋1＝2. (2)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)] ＝log2[(1＋)2－3] ＝log2(3＋2－3) ＝log22＝. (3)原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n. 易错点　利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件 7.设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________． [易错分析]　错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案． 答案　1 正解　由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得 lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1， 又x>0，y>0，x－2y>0，∴>2， ∴log4＝1. 一、选择题 1．lg 8＋3lg 5的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　D 解析　lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3.故选D. 2．若a>0，a＝，则loga等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　∵a＝，∴a＝＝3，∴loga＝log3＝3. 3．已知4x＝3，y＝log4，则x＋y等于(　　) A．2 B．8 C．4 D．log43 答案　A 解析　∵4x＝3，∴x＝log43.又y＝log4，∴x＋y＝log43＋log4＝log4＝log416＝log442＝2.故选A. 4．设x，y为正实数，已知lg ＝，则 ＋ 的值为(　　) A．7 B． C．3 D． 答案　A 解析　∵x，y为正实数，lg ＝，∴lg 4＝lg (xy)，∴4＝xy，∴2＝，∴x＋2＋y＝9，∴ ＋ ＝7. 5．[多选]若a＞0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy＞0，则下列各式不恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 答案　AC 解析　对于A，左边x≠0，右边x＞0，故A不恒成立；对