第7章 §4 事件的独立性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

《作业与测评》新教材 数学·必修第一册 北师版 §4　事件的独立性 知识点一　事件独立性的判定 1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是(　　) A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 答案　A 解析　根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与也相互独立． 2．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，事件B为“抽得草花”，事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？ (1)A与B； (2)C与A． 解　(1)解法一：事件A与B相互独立． 因为任抽一张，事件B发生的概率为，若事件A发生了，因为有4张K，是草花K的概率还是. 故A的发生与否并不影响事件B发生的概率，故事件A与B相互独立． 解法二：P(A)＝＝，P(B)＝＝， 事件AB即为“抽得草花K”，故P(AB)＝. 从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立． (2)事件A与C不相互独立． 任抽一张，事件C发生的概率为.若事件A发生了，则事件C就没有发生，即事件A的发生影响了事件C发生的概率，故二者不是相互独立事件. 知识点二　相互独立事件同时发生的概率 3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数区域的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为×＝. 4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________． 答案　 解析　用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，且P()＝P()·P()P()＝××＝.所以此密码被破译的概率为1－＝. 知识点三　相互独立事件概率的综合应用 5.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62　73　81　92　95　85　74　64 53　76　78　86　95　66　97　78 88　82　76　89 B地区：73　83　62　51　91　46　53　73 64　82　93　48　65　81　74　56 54　76　65　79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 解　记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”； CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”； CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”， 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2. P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)． 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，则P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝. 易错点　正确理解独立事件发生的概率 6．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率． [易错分析]　在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生；只有B发生，即事件B发生． 解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件A发生． 正解　因为A与B相互独立， 所以A与，与B也相互独立． 所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，① P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.② ①－②，得P(A)＝P(B)．③ ①③联立，解得P(A)＝P(B)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 故事件A和事件B同时发生的概率为. 一、选择题 1．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　) A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48 答案　B 解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独