2.2.1 不等式及其性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 2．2.1　不等式及其性质 知识点一　用不等式表示不等关系 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 答案　D 解析　据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D. 知识点二　不等式的性质 2．下列命题中，一定正确的是(　　) A．若a>b，且＞，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d 答案　A 解析　对于A，∵>，∴>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错误；对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C错误；对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错误．故选A. 3．[多选]对于实数a，b，c，下列命题中的假命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则< C．若a>0>b，则> D．若a>|b|，则a2>b2 答案　AC 解析　当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；当a>b>0时，<，故B为真命题；a>0>b⇒a－b>a>0⇒>>0，故C为假命题；若a>|b|≥0，则a2>b2，故D为真命题． [名师点拨]　运用不等式的性质判断命题真假的技巧：①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质；②解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 知识点三　比较大小 4．已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定 答案　B 解析　M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．∵a，b∈(0，1)，∴a－1<0，b－1<0，∴M－N>0，∴M>N. 5．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案　C 解析　用作商法比较，由题意知x，y>0，∵＝＝<1，∴x<y. 知识点四　用不等式的性质证明不等式 6．已知a>b>0，c<d<0，求证：<. 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0， ∴0<－<－. 又a>b>0，∴－>－>0， ∴>， 即－>－，两边同乘－1， 得<. 7．证明：－<－. 证明　证法一(分析法)：要证－<－， 只需证＋<＋， 只需证(＋)2<(＋)2， 展开得9＋2<9＋2，只需证<， 即证14<18，显然成立，所以－<－. 证法二(反证法)：假设－≥－， 则＋≥＋， 两边平方得9＋2≥9＋2， 所以≥， 即14≥18，显然不成立，所以假设错误． 所以－<－. 证法三：因为－＝，－＝， 又因为＋>＋>0， 所以<， 所以<，即－<－. 知识点五　应用不等式的性质求取值范围 8．已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，则3x＋2y的取值范围是(　　) A．[1，18] B. C．(1，18) D. 答案　D 解析　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，则所以所以3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)．因为－1<x＋y<4，2<x－y<3，所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，所以－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，所以3x＋2y的取值范围为. 9．[易错题]已知12＜a＜60，15＜b＜36，则的取值范围为________． 答案　 解析　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4. [易错分析]　本题易直接使用同向不等式相除得到＜＜致错，求指定代数式的取值范围必须根据不等式的性质求解． 一、选择题 1．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是(　　) A．a－c>b－c B．a＋c<b＋c C．ac>bc D.< 答案　B 解析　由数轴可以看出a<b<0<c，对于A，∵a<b，∴a－c<b－c，故A错误；对于B，∵a<b，∴a＋c<b＋c，故B正确；对于C，∵a<b，c>0，∴ac<bc，故C错误；对于D，∵a<c，b<0，∴>，故D错误．故选B. 2．已知a<1，记M＝a3－1，N＝2a2－2a，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N