1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［人教B版］作业与测评 1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点一　命题的否定 1．写出下列命题的否定． (1)，1.414，，π都是无理数； (2)3≥2； (3)方程x2＝－1没有实数根． 解　(1)，1.414，，π不都是无理数． (2)3<2. (3)方程x2＝－1有实数根． 知识点二　全称量词命题的否定 2．命题“任意一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案　D 解析　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可先将全称量词改为存在量词，然后否定结论，故该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方不是有理数”． 3．下列全称量词命题的否定是真命题的是(　　) A．∀x＞0，x3＞0 B．所有矩形的对角线相等 C．不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根 D．每一个三角形的三个顶点共圆 答案　C 解析　对于A，原命题的否定为“∃x＞0，x3≤0”，其是假命题；对于B，原命题的否定为“有的矩形的对角线不相等”，其是假命题；对于C，原命题的否定为“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根”．由Δ＝1＋4m<0，得m<－，则当m<－时，x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题；对于D，原命题是真命题，故其否定是假命题． 4．命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________． 答案　∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 解析　因为命题为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是“∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3”． [名师点拨]　全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词，同时对命题的结论进行否定． 知识点三　存在量词命题的否定 5．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 答案　C 解析　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为把存在量词改为全称量词，然后再否定结论，故选C. 6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________． 答案　∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0 解析　由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，该命题的否定为“∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”． [名师点拨]　存在量词命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时对命题的结论进行否定． 7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)∀x∈R，x2＞0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解　(1)命题的否定：∃x∈R，x2≤0. 因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真命题． (2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1. 因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假命题． (3)命题的否定：∀x∈R，x2－3x＋2≠0. 因为x＝1时，12－3×1＋2＝0， 所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． 知识点四　全称、存在量词命题的否定的综合运用 8．已知p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0，若p为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　B 解析　因为p为假命题，所以¬p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.故选B. 9．已知p：∃x∈(1，3)，x－a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) 答案　D 解析　因为¬p是真命题，所以∀x∈(1，3)，x－a<0，所以a≥3. 一、选择题 1．已知命题p：∀x>0，(x＋1)(x2＋1)>1，则¬p为(　　) A．∃x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1 B．∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1 C．∀x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1 D．∀x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1 答案　B 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．因此¬p为∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1.故选B. 2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　) A．∃x∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案　D 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D. 3．命题“