5.4.2 第1课时 正、余弦函数的周期性、奇偶性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正、余弦函数的周期性、奇偶性 知识点一　周期函数 1．[多选]下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是(　　) 答案　ABC 解析　显然D中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A，C中每经过一个单位长度，图象重复出现．B中图象每经过2个单位长度，图象重复出现．所以A，B，C中函数是周期函数，D中函数不是周期函数．故选ABC. 2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________． 答案　1 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，∴f＝f＝f＝－4×＋2＝－1＋2＝1. 知识点二　正、余弦函数的周期性 3．函数y＝sin(4－2x)的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　y＝sin(4－2x)＝－sin(2x－4)，由周期公式得T＝＝π. 4．函数y＝的定义域是________． 答案　，k∈Z 解析　要使函数有意义，只需2cosx－≥0，即cosx≥.由余弦函数图象(如图)及余弦函数的最小正周期为2π，知所求定义域为，k∈Z. 5．已知f(n)＝sin(n∈Z)，求f(n)的周期T及f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值． 解　∵f(n)＝sin(n∈Z)，∴f(1)＝，f(2)＝1，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－1，f(7)＝－，f(8)＝0，…，不难发现，f(n)＝sin(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0. ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝＋1＋＋0＝＋1. 6．求下列函数的周期： (1)y＝2sin，x∈R； (2)y＝1－2cos，x∈R； (3)y＝|sin2x|，x∈R. 解　(1)解法一：(定义法) 令z＝x＋，由x∈R得z∈R， 且y＝2sinz的周期为2π， 即2sin(z＋2π)＝2sinz， 于是2sin＝2sin， 所以2sin＝2sin. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π. 解法二：(公式法) 因为ω＝，所以T＝＝＝4π. (2)解法一：(定义法) 令z＝x，由x∈R得z∈R，且y＝1－2cosz的周期为2π， 即1－2cos(z＋2π)＝1－2cosz， 于是1－2cos＝1－2cosx， 所以1－2cos＝1－2cosx. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4. 解法二：(公式法) 因为ω＝，所以T＝＝＝4. (3)作图如下： 观察图象可知最小正周期为. [规律方法]　求三角函数周期的方法：①定义法，即利用周期函数的定义求解；②公式法，形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，其周期T＝；③图象法，即通过观察函数图象求其周期． 知识点三　正、余弦函数的奇偶性 7．若y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　) A．0 B. C. D．π 答案　C 解析　若y＝sin(x＋φ)是R上的偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，则φ＝. 8．函数f(x)＝的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 答案　A 解析　由题意知1＋cosx≠0，即cosx≠－1.所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，定义域关于原点对称．因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．故选A. 9．[多选](2023·河北唐山一中高一月考)下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是(　　) A．y＝cos2x B．y＝sin2x C．y＝|cosx| D．y＝|sinx| 答案　ACD 解析　令f(x)＝y＝cos2x，则f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，故y＝cos2x是偶函数，其周期为＝π，A满足题意；y＝sin2x是奇函数，B不满足题意；令g(x)＝y＝|cosx|，则g(－x)＝|cos(－x)|＝|cosx|＝g(x)，故y＝|cosx|是偶函数，作出y＝|cosx|的图象，易知其周期为π，C满足题意；令h(x)＝y＝|sinx|，则h(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝h(x)，故y＝|sinx|是偶函数，作出y＝|sinx|的图象，易知其周期为π，D满足题意．故选ACD. 一、选择题 1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　) A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1