5.3 第2课时 公式五、六-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第2课时　公式五、六 知识点一　求值问题 1．已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　sin＝sin＝sin＝cosα＝.故选C. 2．已知sin＝，则cos的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选D. 3.[多选](2023·河北石家庄二中高一月考)已知sin(π＋α)＝－，且α是第一象限角，则下列三角函数的值计算正确的是(　　) A．sinα＝ B．cos＝－ C．sin＝ D．tan(5π－α)＝ 答案　ABC 解析　∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，A正确；cos＝cos＝－sinα＝－，B正确；∵α为第一象限的角，cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴sin＝cosα＝，C正确；∵sinα＝，cosα＝，∴tanα＝，∴tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－，D错误．故选ABC. 知识点二　利用诱导公式进行化简、证明 4．化简： (1)； (2)[易错题]sin＋cos(n∈Z)． 解　(1)原式 ＝＝tanα. (2)解法一：当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z， 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋sin＝0； 当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z， 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－cos ＝sin－cos ＝sin－sin＝0. 综上可知，原式＝0. 解法二：因为π－α＝＋， 所以sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－sin ＝0. 解法三：原式＝sin＋cos ＝(－1)n－1sin＋(－1)ncos ＝(－1)n－1sin＋(－1)nsin ＝(－1)n－1sin＋(－1)nsin＝0. [易错分析]　本题易错的地方是在化简时没有对整数n的奇偶进行讨论，得到下面的错解： 原式＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝2sin. 5．求证：＝. 证明　∵左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边， ∴原式成立． [规律方法]　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 知识点三　诱导公式的综合应用 6．已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证：sin＝cos. 证明　在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则＝， 所以cos＝cos ＝cos＝cos ＝sin， 故原等式得证． 7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边经过点A(a，3)，cosα＝－. (1)求a和tanα的值； (2)求的值． 解　(1)由题意，得点A在第二象限，即a<0，且cosα＝＝－， 解得a＝－4. 所以tanα＝－. (2)原式＝＝. 又tanα＝－，所以原式＝＝－. 8．(2023·湖南长郡中学高一期末)已知f(α)＝. (1)若α是第三象限角，sinα＝－，求f(α)的值； (2)若α＝－，求f(α)的值． 解　f(α)＝＝－cosα. (1)∵α是第三象限角，sinα＝－<0， ∴cosα<0， ∴cosα＝－＝－， 则f(α)＝－cosα＝. (2)将α＝－代入，得f＝－cos＝－cos＝－cos＝cos＝. 一、选择题 1．已知sin10°＝k，则cos620°的值为(　　) A．k B．－k C．±k D. 答案　B 解析　cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k. 2．如果|sinα|＝，且α是第二象限角，那么sin＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　∵α是第二象限角，∴sinα＝，∴sin＝－sin＝－cosα＝＝.故选D. 3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A．－a B．－a C.a D.a 答案　B 解析　由条件得－sinα－sinα＝－a，故sinα＝，原式＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a. 4．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由条件可知，－2tanα＋3sinβ＝－5　①，tanα－6sinβ＝1　②，由①×2＋②