5.2.2 同角三角函数的基本关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 5．2.2　同角三角函数的基本关系 知识点一　利用同角三角函数的基本关系求值 1．(2023·黑龙江齐齐哈尔高一期末)若sinα＝，且α是第二象限角，则cosα＝(　　) A．－ B. C．± D．± 答案　A 解析　由α是第二象限角，得cosα＝－ ＝－＝－. [名师点拨]　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，若角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定；若角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 2．已知2sinθ＝1－cosθ，则tanθ＝(　　) A．－或0 B.或0 C．－ D. 答案　A 解析　由2sinθ＝1－cosθ，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cosθ＝1或－.当cosθ＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0；当cosθ＝－时，sinθ＝，tanθ＝－.故tanθ＝－或0. 3．已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋cos2α. 解　∵tanα＝3， ∴cosα≠0. (1)原式的分子、分母同除以cos2α，得 原式＝＝＝－. (2)原式＝＝＝＝. 知识点二　sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者之间的关系 4．(2023·山东淄博高一期末)若α是三角形的一个内角且sinα＋cosα＝，则这个三角形的形状为(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 答案　A 解析　∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴α为钝角． 5．[多选]已知sinθ＋cosθ＝，且θ∈(0，π)，则下列结论正确的是(　　) A．sinθcosθ＝－ B．θ∈ C．sinθ－cosθ＝ D．tanθ＝－ 答案　ACD 解析　因为sinθ＋cosθ＝，所以(sinθ＋cosθ)2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－，A正确；由sinθcosθ＝－<0，且θ∈(0，π)可知，θ∈，因为(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝，B错误，C正确；由得sinθ＝，cosθ＝，所以tanθ＝＝－，D正确．故选ACD. 6．已知－<x<0，sinx＋cosx＝，求下列各式的值：(1)sinx－cosx；(2). 解　(1)∵sinx＋cosx＝， ∴(sinx＋cosx)2＝， 即1＋2sinxcosx＝， ∴2sinxcosx＝－. ∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝， 又－<x<0，∴sinx<0，cosx>0， ∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－. (2)解法一：由已知条件及(1)， 可知解得 ∴＝＝. 解法二：由已知条件及(1)， 可知 ∴＝＝＝. [名师点拨]　对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以实现知一求二． 知识点三　三角函数式的化简与证明 7．化简：(1)； (2)＋，其中α为第四象限角． 解　(1)原式 ＝ ＝ ＝＝. (2)∵α为第四象限角，∴sinα<0. ∴原式＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝－－＝－. 8．求证：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝＝＝右边． ∴原等式成立． 一、选择题 1．化简的结果是(　　) A．cos160° B．±|cos160°| C．±cos160° D．－cos160° 答案　D 解析　＝＝|cos160°|＝－cos160°. 2．已知tanx＝，且x是第三象限角，则cosx＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　因为tanx＝，且x是第三象限角，所以＝，cosx<0，结合sin2x＋cos2x＝1，解得cosx＝－. 3．(2023·重庆名校高一联考)已知＝2，则sinθcosθ的值是(　　) A. B．± C. D．－ 答案　C 解析　由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝. 4．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝(　　) A. B．2 C．－ D．－2 答案　B 解析　解法一：由解得所以tanα＝＝2. 解法二：因为cosα＋2sinα＝，所以(cosα＋2sinα)2＝5，则＝5， 即＝5， 所以＝5，解得tanα＝2. 解法三：设tanα＝＝t，则sinα＝tcosα，代入题设cosα＋2