4.5.3 函数模型的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．5.3　函数模型的应用 知识点一　指数型函数模型 1．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　) A．y＝x(x∈N*) B．y＝x(x∈N*) C．y＝2x(x∈N*) D．y＝(x∈N*) 答案　D 解析　由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N*)．故选D. 2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0(单位：℃)，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃需要________min. 答案　25 解析　由题意知40－24＝(88－24)·，即＝，解得h＝10.故T－24＝(88－24)·.将T＝35代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.两边取对数，用计算器求得t≈25.因此，约需要25 min，可降温到35 ℃. [名师点拨]　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． 知识点二　对数型函数模型 3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2038年冬有越冬白鹤(　　) A．10000只 B．9000只 C．8000只 D．7000只 答案　B 解析　当x＝1时，y＝alog33＝a＝3000，∴y＝3000log3(x＋2)．当x＝25时，y＝3000log327＝9000，即估计到2038年冬有越冬白鹤9000只． 4．[多选]化学上常用pH值来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－lg (c(H＋))，其中c(H＋)表示溶液中H＋的浓度，下列说法中正确的是(　　) A．pH随着溶液中H＋浓度的增加而增大 B．纯净水的c(H＋)＝1×10－7 mol/L，则纯净水的pH值为7 C．若一杯胡萝卜汁的c(H＋)＝1×10－5 mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH值为5 D．pH值为3的溶液的c(H＋)＝1×10－3 mol/L 答案　BCD 解析　∵pH＝－lg (c(H＋))为减函数，∴pH随着溶液中H＋浓度的增加而减小，故A错误；当c(H＋)＝1×10－7 mol/L时，pH＝7，当c(H＋)＝1×10－5 mol/L时，pH＝5，故B，C正确；当pH＝3时，c(H＋)＝1×10－3 mol/L，故D正确．故选BCD. 知识点三　函数模型的选择问题 5．(2023·河北石家庄高一期末)在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的关系为 x 2 3 4 5 6 8 y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 根据表格中的数据画出散点图如图： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①y＝alog2x＋b，②y＝a＋b，③y＝2x－a＋b. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个． 解　(1)依题意，所选函数必须满足三个条件： (ⅰ)定义域包含[2，＋∞)； (ⅱ)是增函数； (ⅲ)随着自变量的增加，函数值的增长速度变慢， 因为函数y＝a＋b的定义域为[3，＋∞)，当x＝2时无意义， 函数y＝2x－a＋b，随着自变量的增加，函数值的增长速度变快， 函数y＝alog2x＋b可以同时符合上述条件，所以应选择函数y＝alog2x＋b. (2)依题意，知,解得 所以y＝log2x＋3，令y＝log2x＋3≥5，解得x≥16， 所以至少再经过14个小时，细菌数量达到5百万个． 6．某公司新产品从2023年5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该产品的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x(天) 4 10 36 市场价y(元) 90 51 90 (1)根据上表