4.5.1 函数的零点与方程的解-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．5.1　函数的零点与方程的解 知识点一　函数零点的概念 1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 答案　A 解析　由图观察，A中图象与x轴没有交点，∴A中函数没有零点．故选A. 2．[多选]下列关于函数零点的说法正确的是(　　) A．函数零点就是函数图象与x轴的公共点 B．函数f(x)有几个零点，其图象与x轴就有几个交点 C．不存在没有零点的函数 D．若f(x)＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f(x)有一个零点 答案　BD 解析　函数零点指的是使f(x)＝0的实数x，即函数图象与x轴公共点的横坐标，所以A不正确，B正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y＝2，所以C不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D正确．故选BD. 3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数f(x)的零点为－1，0，1，共3个． 知识点二　函数零点所在区间的判断 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f(a)f(b)＜0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，所以“f(a)f(b)<0”⇒“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”，反之不成立．所以“f(a)f(b)<0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件．故选A. 5．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 答案　C 解析　因为函数y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)<0，且f(2)>0，求解可得0<a<3. 6．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由函数零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4)． [规律方法]　确定函数零点(或方程的解)所在的区间，通常利用函数零点存在定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但要注意的是，当f(a)f(b)>0时，函数f(x)在(a，b)内可能存在零点． 知识点三　函数零点的应用 7．[易错题]若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围． 解　①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意； ②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1的图象为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴为x＝>0， ∴f(x)必有且仅有一个负零点，符合题意； ③当a<0时，x＝<0，f(0)＝－1<0， ∴Δ＝1＋4a＝0，即a＝－， 此时f(x)＝－x2－x－1＝－＝0， ∴x＝－2，符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是a≥0或a＝－. [易错分析]　本题中f(x)＝ax2－x－1的二次项系数为a，容易出现分类讨论不全面，漏掉a＝0的情况，导致解答不全面． 8．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)的零点； (2)若f(x)有零点，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1. 令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝－(舍去)． ∴x＝0， ∴函数f(x)的零点为0. (2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解， 于是2a＝＝＋， 令＝t，则g(t)＝t＋t2＝－. ∵t>0， ∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，其值域为(0，＋∞)， ∴2a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)． 一、选择题 1．下列函数没有零点的是(　　) A．f(x)＝0 B．f(x)＝2 C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－ 答案　B 解析　函数f(x)＝2，不存在x满足方程f(x)＝0，因此没有零点． 2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上(　　) A．至少有一个实根 B．至多有一个实根