4.4.3 不同函数增长的差异-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．4.3　不同函数增长的差异 知识点　几类函数模型的增长差异 1．[易错题]下列函数中随x的增大而增大且最终增长速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x10 D．y＝100·2x 答案　A 解析　通过函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝kx(k>0)的图象观察可得，随着x的增大，y＝ax的增长速度最终大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度最终大于y＝logax的增长速度，又y＝ex中底数e>2，所以y＝ex的最终增长速度大于y＝100·2x.故选A. [易错分析]　影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而非其系数，本题易误认为100>，得出100·2x比ex增长速度快的错误结论，错选D. 2．(2023·吉林白城市第一中学高一阶段考试)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(2，＋∞)时，下列说法正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．当x∈(2，4)时，g(x)>f(x)>h(x)；当x∈(4，＋∞)时，f(x)>g(x)>h(x) D．当x∈(2，4)时，f(x)>g(x)>h(x)；当x∈(4，＋∞)时，g(x)>f(x)>h(x) 答案　D 解析　画出函数的图象，如图所示，当x∈(2，4)时，二次函数图象位于指数函数图象的上方，指数函数图象位于对数函数图象的上方，故f(x)>g(x)>h(x)；当x∈(4，＋∞)时，指数函数图象位于二次函数图象的上方，二次函数图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．故选D. 3．有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 4 13 28 49 76 下列所给函数模型较适合的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 答案　C 解析　通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C. 4.[多选]在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．则下列说法正确的是(　　) A．前5 min温度增加的速度越来越快 B．前5 min温度增加的速度越来越慢 C．5 min以后温度保持匀速增加 D．5 min以后温度保持不变 答案　BD 解析　因为温度y关于时间t变化的图象是先凸后平，即前5 min每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min以后y关于t的增量保持为0.故选BD. 5．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，xa＞logax C．对任意的x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 答案　D 解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．故选D. 6．四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 答案　y2 解析　以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 7．在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在(0，＋∞)范围内增长的快慢． (1)y＝2x和y＝x2； (2)y＝x3和y＝3x2； (3)y＝和y＝； (4)y＝和y＝log2x. 解　(1)函数图象如图所示． 由图可知y＝2x在(0，＋∞)范围内增长得较快． (2)函数图象如图所示． 由图可知y＝x3在(0，＋∞)范围内增长得较快． (3)函数图象如图所示． 由图可知y＝在(0，＋∞)范围内