4.4.2 对数函数的图象和性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．4.2　对数函数的图象和性质 知识点一　对数函数的图象问题 1．函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点 (　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(－2，1) D．(－1，1) 答案　D 解析　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1)． 2.如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则(　　) A．a4>a3>1>a2>a1>0 B．a3>a4>1>a1>a2>0 C．a2>a1>1>a4>a3>0 D．a1>a2>1>a3>a4>0 答案　A 解析　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0. 知识点二　对数函数单调性的应用 3．已知logb＜loga＜logc，则(　　) A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b 答案　B 解析　由于函数y＝logx为减函数，因此由logb＜loga＜logc可得b＞a＞c，又由于函数y＝7x为增函数，所以7b＞7a＞7c. 4．已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为________． 答案　 解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.故x的取值范围为. 5．比较下列各组数的大小： (1)log2π________log20.9； (2)log20.3________log0.20.3； (3)log0.76________0.76________60.7； (4)log20.4________log30.4. 答案　(1)>　(2)<　(3)<　<　(4)< 解析　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9，所以log2π＞log20.9. (2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0，所以log20.3＜log0.20.3. (3)因为60.7＞60＝1，0＜0.76＜0.70＝1，又log0.76＜log0.71＝0，所以log0.76<0.76<60.7. (4)底数不同，但真数相同． 解法一：(图象法)根据y＝logax的图象在a＞1，0＜x＜1时，a越大，图象越靠近x轴，知log30.4＞log20.4. 解法二：(化同底)由换底公式可得log20.4＝，log30.4＝，易知log0.43<log0.42<0，所以log20.4<log30.4. [规律方法]　对数式比较大小：①若同底，则可由对数函数的单调性进行比较；②若底数不同，真数相同，则可在同一坐标系中作出函数图象，借助图象比较，或用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则可借助1，0等中间量进行比较． 知识点三　反函数 6．已知函数y＝f(x)是函数y＝ex的反函数，则(　　) A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2 ·ln x(x>0) C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x ＋ln 2(x>0) 答案　D 解析　∵y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝ln x，∴f(2x)＝ln 2x＝ln x＋ln 2(x>0)．故选D. 7．[易错题]如果函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是增函数，那么函数y＝－loga(x＋1)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是增函数，∴y＝ax为增函数，∴a>1，∴y＝f(x)＝－loga(x＋1)为减函数，可排除B，D；又f(0)＝0，∴排除A.故选C. [易错分析]　解答本题易混淆函数类型或忽视底数a对函数图象的影响致误． 知识点四　对数函数的性质 8．[多选]已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，则(　　) A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1) B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D．函数f(x)－g(x)在区间(0，1)上是减函数 答案　AB 解析　∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0，得－1<x<1，故A正确；由f(－x)＋g(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，