4.3.2 第2课时 换底公式及对数的实际应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第2课时　换底公式及对数的实际应用 知识点一　换底公式的应用 1．log29×log34＝(　　) A. B. C．2 D．4 答案　D 解析　log29×log34＝×＝×＝2×2＝4. [规律方法]　在计算对数相乘(除)时，通常利用换底公式，将所给对数换成常用对数或自然对数，再化简计算． 2．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案　A 解析　∵logax＝＝2，∴logxa＝.同理logxb＝，logxc＝，∴logabcx＝＝＝1. 3．[多选]设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ 答案　AD 解析　由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k.对于A，由ab＋bc＝2ac, 可得＋＝2，因为＋＝＋＝＋＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；对于C，＋＝＋＝2logk4＋logk6＝logk96，＝＝2logk9＝logk81，故≠＋，即C错误；对于D，－＝－＝2logk6－logk4＝logk9，＝＝logk9，故＝－，即D正确． 4．(1)已知log23＝a，3b＝7，试用a，b表示log1256； (2)已知log32＝a，log37＝b，试用a，b表示log28. 解　(1)∵3b＝7，∴b＝log37， ∵log23＝a，∴log32＝， ∴log1256＝＝＝＝. (2)∵log32＝a，log37＝b， ∴log28＝＝＝＝. 5．计算： (1)log927； (2)log89×log2732； (3)log2×log3×log5； (4)(log43＋log83)(log32＋log92)． 解　(1)log927＝＝＝＝. (2)log89×log2732＝×＝×＝×＝. (3)log2×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1 ＝－3log25×(－5log32)×(－log53) ＝－15×××＝－15. (4)原式＝ ＝ ＝＋＋＋＝. 知识点二　对数在实际中的应用 6．2022年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么多少年后国民生产总值是2022年的2倍(lg 2≈0.3010，lg 1.08≈0.0334，精确到1年)? 解　设经过x年国民生产总值为2022年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2， …… 经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a， ∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2. ∴x＝≈≈9. 故约经过9年，国民生产总值是2022年的2倍． 7．(2023·福建三明一中高一期末)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)． 解　因为ev＝， 所以v＝ln ＝2000·ln ， 所以当M＝2m时，v＝2000·ln 3≈2000×1.099＝2198(m/s)． 故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198 m/s. 一、选择题 1.＝(　　) A. B．2 C. D. 答案　B 解析　由换底公式得＝log39＝2. 2．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝(　　) A．a＋b B．a－b C．ab D. 答案　C 解析　log27＝log23×log37＝ab. 3．[多选](2023·湖南长沙高一期中)若ab>1，则下列等式中正确的是(　　) A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b C.lg ＝lg D．lg (ab)＝ 答案　CD 解析　当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD. 4.＋＝(　　) A．lg 3 B．－lg 3 C. D．－ 答案　C 解析　原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝.故选C. 5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 答案　D 解析　因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈