4.3.1 对数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．3.1　对数的概念 知识点一　对数的概念 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 答案　B 解析　由题意知解得0<a<. 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg (x－10)； (2)log(x－1)(x＋2)； (3)log(x＋1)(x－1)2. 解　(1)由题意有x－10>0，即x>10. (2)由题意有 即 解得x>1且x≠2. (3)由题意有 解得x>－1且x≠0，x≠1. [名师点拨]　在解决与对数有关的问题时，一定要注意“对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1”． 知识点二　对数式与指数式的互化与求值 3．[多选]下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 答案　ABD 解析　log39＝2⇒32＝9，9＝3⇒log93＝，C不正确；A，B，D均正确． 4．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　) A．3 B. C．9 D. 答案　D 解析　∵loga＝m，loga3＝n，∴am＝，an＝3，∴am＋2n＝am·(an)2＝×32＝.故选D. 5．若f(10x)＝x，则f(3)＝(　　) A．3 B．103 C．310 D．lg 3 答案　D 解析　由10x＝3，得x＝lg 3.又f(10x)＝x，所以f(3)＝lg 3.故选D. 6．求下列各式中x的值： (1)log27x＝－；(2)logx＝8； (3)lg 0.01＝x；(4)－ln ＝x. 解　(1)由log27x＝－，得x＝27＝3＝3－4＝. (2)由logx＝8，得x8＝， 又x>0，则x＝＝＝. (3)由lg 0.01＝x，得10x＝10－2，所以x＝－2. (4)由－ln ＝x，得ln ＝－x，即e－x＝＝e，所以x＝－. [名师点拨]　指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a>0，且a≠1)表示了三个量a，x，N之间的同一种关系，因而已知其中两个时，可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个． 知识点三　对数恒等式的应用 7．已知logx27＝31＋log32，则x＝________． 答案　 解析　logx27＝31＋log32＝3×3log32＝3×2＝6.所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x＝. 8．计算下列各式： (1)71－log75；(2)100lg 16－lg 2； (3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)． 解　(1)原式＝7×7－log75＝＝. (2)原式＝100lg 16×100－lg 2＝10lg 16×＝16×＝4. (3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c. 一、选择题 1．logab＝1成立的条件是(　　) A．a＝b B．a＝b且b>0 C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1 答案　D 解析　由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.故选D. 2．化简0.7log0.78等于(　　) A．2 B．8 C. D．2 答案　B 解析　由对数恒等式alogaN＝N，得0.7log0.78＝8.故选B. 3．若loga＝c，则下列等式正确的是(　　) A．b5＝ac B．b＝a5c C．b＝5ac D．b＝c5a 答案　B 解析　根据指数式和对数式的互化关系可知，若loga＝c，则ac＝，所以b＝a5c.故选B. 4．[多选]下列四个结论中正确的是(　　) A． B．9＋ln e＝4 C．若log3(lg x)＝1，则x＝1000 D．若loga＝c，则b＝a7c 答案　BCD 解析　对于A，＝4，故A错误；对于B，9＋ln e＝3＋1＝4，故B正确；对于C，因为log3(lg x)＝1，则lg x＝3，所以x＝103＝1000，故C正确；对于D，因为loga＝c，则＝ac，所以b＝a7c，故D正确．故选BCD. 5．[多选]对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM3＝logaN3，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 答案　BC 解析　对于A，当M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B，C正确；对于D，当M＝N＝0时不正确．故选BC. 二、填空题 6．已知log2x＝2，则x＝________． 答案　 解析　∵log2x＝2，∴x＝22＝4，4＝＝. 7．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝_______