4.2.2 指数函数的图象和性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．2.2　指数函数的图象和性质 知识点一　指数函数的图象 1.函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案　C 解析　直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选C. 2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 答案　D 解析　由图知f(x)单调递减，故0<a<1，f(0)<1，即a－b<1，∴－b>0，∴b<0，故选D. 3．函数y＝ax＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 答案　(0，4) 解析　因为在函数y＝ax＋3中，当x＝0时，恒有y＝a0＋3＝4，所以函数y＝ax＋3的图象恒过定点(0，4)． 知识点二　指数型函数的定义域与值域 4．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－3，0] B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D．(－∞，－3)∪(－3，1] 答案　A 解析　由题意得自变量x应满足解得－3＜x≤0. 5．下列函数中，定义域与值域相同的是(　　) A．y＝2x B．y＝ C． D．y＝2 答案　C 解析　A中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)；B中，y＝的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠0}；C中，由x－1＞0得x＞1，所以的定义域为(1，＋∞)，由＞0得＞30＝1，所以其值域为(1，＋∞)；D中，y＝2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而2＞0且2≠1，所以其值域为(0，1)∪(1，＋∞)．故选C. 6．[易错题]函数y＝＋＋1的值域为________． 答案　(1，＋∞) 解析　令t＝，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝＋.因为函数y＝＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y>＋＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)． [易错分析]　用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误． 知识点三　利用单调性比较大小 7．(2023·海南省高一学业水平诊断)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝＝，c＝，因为指数函数y＝单调递减，所以<<＝1，所以b<c<1，所以b<c<a.故选D. [规律方法]　比较幂值大小：①同底时，应用指数函数的单调性比较；②同指时，应用幂函数的单调性比较；③不同底不同指时，利用中间值法，先与中间值0或1比较大小，再间接得出大小关系． 8．[多选]已知实数a，b满足等式＝，下列四个关系式不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 答案　CD 解析　在同一坐标系中，分别画出函数y＝，y＝的图象如图．由图观察可知，当0<a<b时，等式＝不可能成立；当b<a<0时，等式＝不可能成立．故选CD. 9．若＜，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 答案　A 解析　函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1＞8－2a，所以a＞.故选A. 知识点四　指数函数性质的综合应用 10．(2023·吉林毓文中学高一期中)已知函数f(x)＝为定义在R上的奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性； (3)若f(k·3x)＋f(3x－9x)<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)为R上的奇函数， 则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝. 对任意的x∈R，f(－x)＝＝＝， 由题意可知f(－x)＝－f(x)，则＝对任意的x∈R恒成立， 所以2＋b·2x＝2x＋1＋b对任意的x∈R恒成立， 则(b－2)(2x－1)＝0对任意的x∈R恒成立，所以b＝2， 此时，f(x)＝，该函数的定义域为R，符合题意． 综上所述，a＝1，b＝2. (2)f(x)＝＝－，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．证明如下： 任取x1，x2∈R且x1>x2，则2x1>2x2>0， 所以f(x1)－f(x2)＝－＝－＝>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． (3)由f(k·3x)＋f(3x－9x)<0可得f(k·3x)<－f(3x－9x)＝f(32x－3x)， 因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， 则k·3x