4.2.1 指数函数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．2.1　指数函数的概念 知识点一　指数函数的概念 1．[多选]下列以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为(　　) A．y＝(π－1)x B．y＝(1－π)x C．y＝(＋1)x D．y＝x2 答案　AC 解析　由指数函数的定义可知选项A，C为指数函数．故选AC. 2．若函数y＝(2a2－6a＋5)ax是指数函数，则a的值为________． 答案　2 解析　由指数函数的定义可得 解得a＝2. 3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________． 答案　∪(1，＋∞) 解析　因为函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，所以解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)． [名师点拨]　判定一个函数是指数函数的依据：①形如y＝ax；②底数a满足a>0且a≠1；③指数位置上是单独的一个x. 知识点二　指数函数的解析式 4．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(4)＝81，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x C．f(x)＝ D．f(x)＝x 答案　B 解析　因为f(x)＝ax，且f(4)＝81，则a4＝81，解得a＝3，于是f(x)＝3x. 5．若函数f(x)＝ax是指数函数，则f的值为(　　) A．2 B．2 C．－2 D．－2 答案　B 解析　因为函数f(x)＝ax是指数函数，所以有解得a＝8，所以f(x)＝8x，所以f＝8＝＝2.故选B. 6．设函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，若f(x1＋x2＋…＋x2022)＝9，则f(2x1)f(2x2)·…·f(2x2022)＝________． 答案　81 解析　∵f(x1＋x2＋…＋x2022)＝ax1＋x2＋…＋x2022＝9，∴f(2x1)f(2x2)…f(2x2022)＝a2x1·a2x2·…·a2x2022＝a2(x1＋x2＋…＋x2022)＝(ax1＋x2＋…＋x2022)2＝92＝81. 知识点三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 7．随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2023年年底该地区农民的人均年收入为(　　) A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元 C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元 答案　B 解析　设经过x年，该地区农民的人均年收入为y元，则依题意有y＝3000×(1＋6%)x＝3000×1.06x，因为从2016年年底到2023年年底经过了7年，故x＝7，所以2023年年底该地区农民的人均年收入为3000×1.067元． 8．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 答案　19 解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 解　(1)过滤1次后的杂质含量为 ×＝×； 过滤2次后的杂质含量为 ×＝×； 过滤3次后的杂质含量为 ×＝×； …… 过滤n次后的杂质含量为×(n∈N*)． 故y与n的函数关系式为 y＝×(n∈N*)． (2)由(1)知当n＝7时， y＝×＝>， 当n＝8时，y＝×＝<， 所以过滤7次后的杂质含量是，过滤8次后的杂质含量是，至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 一、选择题 1．函数y＝(6a2－a)ax是指数函数，则a的值是(　　) A．－ B. C. D．2 答案　B 解析　由题意得得a＝，故选B. 2．(2023·福建龙岩一中高一月考)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝81，则f的值为(　　) A．± B．±3 C. D．3 答案　C 解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f(2)＝a2＝81，解得a＝9或a＝－9(舍去)，∴f(x)＝9x，∴f＝9＝. 3．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每