2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第2课时　一元二次不等式的应用 知识点一　简单分式不等式的解法 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x>2} C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x＝1} 答案　B 解析　≥0等价于(x－1)(x－2)≥0且x－2≠0，所以x≤1或x>2，所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}．故选B. 2．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________． 答案　{x|x>－a或x<b} 解析　原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x＋a)(x－b)>0，又a＋b<0，所以b<－a.所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<b}． 3．[易错题]解不等式＞1(a∈R)． 解　移项、通分得＞0⇒[(a－1)x－(a－2)](x－2)＞0.① 当a＝1时，①式可以转化为x＞2； 当a＞1时，①式可以转化为(x－2)＞0； 当a＜1时，①式可以转化为(x－2)＜0； 又当a≠1时，2－＝， 所以当a＞1或a＜0时，2＞； 当a＝0时，2＝； 当0＜a＜1时，2＜. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集是；当0＜a＜1时，原不等式的解集是；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a＜0时，原不等式的解集是 . [易错分析]　本题易忽略a＝0时原不等式不成立，另需注意a＞1时与a＜1时不等式有不同的转化形式．在解此类问题时，既要讨论不等式系数的符号，也要讨论相应方程的两个根的大小． 知识点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题 4．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k<0 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 答案　D 解析　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3<k≤0. 5．若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案　{a|－2≤a≤2} 解析　若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则函数y＝x2－2ax＋a＋2在0≤x≤2时的最小值恒大于等于0.二次函数y＝x2－2ax＋a＋2图象的对称轴为直线x＝a.当a≥2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝2时取得最小值，且最小值为6－3a，故6－3a≥0，即a≤2，则a＝2；当a≤0时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝0时取得最小值，且最小值为2＋a，故2＋a≥0，则－2≤a≤0；当0<a<2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝a时取得最小值，且最小值为－a2＋a＋2，则－a2＋a＋2≥0，则0<a<2.综上，实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}． 知识点三　一元二次不等式的实际应用 6．(2023·浙江省温州市苍南县树人中学高一质量检测)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　　) A．76 km/h B.77 km/h C．78 km/h D.80 km/h 答案　B 解析　根据题意，有s＝v＋v2>40，移项整理，得v2＋8v－40×160>0，又v>0，解得v>－4＋4≈76.1.所以这辆汽车刹车前的速度至少为77 km/h.故选B. 7．(2023·河南省濮阳职业技术学院附属中学高一阶段性测试)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是(　　) A．20≤x≤30 B.20≤x≤45 C．15≤x≤30 D.15≤x≤45 答案　B 解析　设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，所以日销售量x的取值范围是20≤x≤45.故选B. [名师点拨]　用一元二次不等式解决实际问题的步骤：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 一、选择题 1．[易错题]不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|－1≤x