2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第2课时　基本不等式的应用 知识点一　利用基本不等式比较大小 1．(2023·陕西省渭南市三贤中学高一期中)设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④≥.其中所有恒成立的不等式的序号是________． 答案　①②③ 解析　对于①，a2＋1－a＝a2－2a＋1＋a＝(a－1)2＋a>0，故①正确；对于②，a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立，且b＋≥2，当且仅当b＝1时等号成立，则≥4，故②正确；对于③，(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故③正确；对于④，＋≥2＝，则≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，故④不正确． 2．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者． 解　∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b. ∴a＋b最大． 知识点二　利用基本不等式证明不等式 3．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴a2＋b2≥， ∴≥＝(a＋b)(a，b∈R，当且仅当a＝b≥0时等号成立)． 同理，≥(b＋c)(当且仅当b＝c≥0时等号成立)， ≥(a＋c)(当且仅当a＝c≥0时等号成立)． 三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c≥0时等号成立)． 4．已知x>0，y>0，z>0，求证：≥8. 证明　因为x>0，y>0，z>0， 所以＋≥>0，当且仅当y＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝y时等号成立，所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立． 知识点三　利用基本不等式求参数的值或范围 5．[多选](2023·江苏省南通市启东市通州区高一期末)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，若(m＋3)xy≤x＋2y对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C. D.2 答案　ABC 解析　∵x>0，y>0，∴(m＋3)xy≤x＋2y⇔m＋3≤＝＋，即m＋3≤，＋＝·(2x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，即m＋3≤，解得m≤.故选ABC. 6．已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 答案　36 解析　4x＋≥2＝4.当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立．由题意得a＝4×32＝36. 知识点四　利用基本不等式解决实际应用问题 7．用17列货车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市．已知A，B两市间铁路线长400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 km，则这批货物全部运到B市最快需要________h，此时货车的速度是________km/h. 答案　8 　100 解析　这批货物全部运到B市需要的时间为＝＋≥2＝8，所以最快需要8 h，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立．所以此时货车的速度是100 km/h. [规律方法]　利用基本不等式解决实际应用问题需要过两关：一关是如何由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关是如何用基本不等式的知识求解问题． 8.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 解　(1)由题意可得AD＝4－x，且x>4－x>0，可得2<x<4，由CE＝AE＝x－DE， 在Rt△ADE中， 可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－(2<x<4)． (2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，当且仅当x＝2，4－x＝4－2时等号成立，即队徽的长和宽分别为2，4－2时，△ADE的面积取得最大值． 一、选择题 1.(2023·湖南部分学校联考)某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　　) A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 答案　C 解析　设AB＝x(x