2.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第1课时　基本不等式 知识点一　基本不等式应用的条件 1．下列不等式的证明过程正确的是(　　) A．若a≠0，b≠0，则＋≥2＝2 B．若x∈R，y≠0，则＝|x|＋≥2 C．若x为负实数，则x＋≥－2＝－4 D．若x≠0，则x2＋≥2＝2 答案　D 解析　对于A，因为当a为负数时，与均为负数，故直接用基本不等式是错误的，A错误；对于B，若x∈R，y≠0，当x，y异号时，≠|x|＋，B错误；对于C，因为x<0，所以<0，所以x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时，等号成立)，C错误．故选D. 知识点二　直接利用基本不等式求最值 2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析　因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，所以xy的最大值为81. 3．设a>0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 答案　3 解析　(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立，所以＋≤3，即＋的最大值为3. 4．[易错题]已知a>0，b>0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值． 解　因为m＝b＋，n＝a＋， 所以m＋n＝b＋＋a＋. 由ab＝4，得b＝， 所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝，即a＝2，b＝2时取等号． 所以m＋n的最小值是5. [易错分析]　本题很容易出错，认为a＋≥2，b＋≥2，从而m＋n≥4，得到m＋n的最小值为4.错误的原因是a，b不能同时取到1. 知识点三　间接利用基本不等式求最值 5．3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 答案　D 解析　原式＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D. 6．[易错题]2x(5－3x)的最大值为________． 答案　 解析　∵0<x<，∴2x＞0，5－3x＞0，2x(5－3x)＝[]2≤＝，当且仅当3x＝5－3x，即x＝时，等号成立．故所求的最大值为. [易错分析]　∵0<x<，∴2x＞0，5－3x＞0，∴2x(5－3x)＝2[]2≤2＝.当且仅当x＝5－3x，即x＝时，等号成立，此时＝.故原式的最大值为. 以上解法不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值． 7．(2023·广东东莞实验中学高一月考)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 答案　5＋2 解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 8．设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解　解法一：由2x＋8y－xy＝0， 得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0， ∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 解法二：由2x＋8y＝xy及x>0，y>0， 得＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当＝， 即x＝12，y＝6时等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 一、选择题 1．(2023·甘肃省民勤县第一中学高一开学考试)函数y＝x＋(x>2)的最小值为(　　) A．6 B.4 C.2 D.3 答案　A 解析　因为x>2，所以x－2>0，由基本不等式可知y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时等号成立，故函数y＝x＋(x>2)的最小值为6.故选A. 2．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．故选D. [名师点拨]　对于x＋2y无法直接求最值，可先由已知等式变形后利用“1”的代换拼凑出基本不等式的形式，再求最值． 3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案　B 解析　∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1，故选B. 4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　) A．