1.5.1 全称量词与存在量词-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 1．5.1　全称量词与存在量词 知识点一　全称量词与全称量词命题 1．(2023·豫南名校高一期中联考)下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D．∃x∈R，x2＝x 答案　B 解析　对于A，C，D，均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题．故选B. 2．判断下列全称量词命题的真假： (1)∀x∈R，x2－x＋1≥； (2)三角形两边之和大于第三边； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． 解　(1)因为x2－x＋1＝＋≥，所以“∀x∈R，x2－x＋1≥”是真命题． (2)因为所有三角形中，任意两边之和大于第三边，故该命题是真命题． (3)如边长为1的正方形，其对角线的长度为，是无理数，故该命题是假命题． 知识点二　存在量词与存在量词命题 3．下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题．故有一个存在量词命题． 4．[易错题]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立． 解　(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． (3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量词命题． [易错分析]　全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题，是对某集合元素的限定，而不是对结论的限定． 5．判断下列存在量词命题的真假： (1)∃x∈Z，x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∃x∈Q，x2＝3； (4)∃x，y为正实数，x2＋y2＝0. 解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， ∴“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”为假命题． (4)因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题． 知识点三　由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围 6．(2023·湖南常德二中高一月考)已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，又B≠∅，所以 解得－1≤m≤1. 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤1}． (2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅， 所以m≥－1. 所以解得－1≤m≤3， 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}． 一、选择题 1．给出下列命题： ①今天有人请假； ②中国所有的江河都流入太平洋； ③每一个中学生都要接受爱国主义教育； ④有人既能写小说，也能搞发明创造． 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　②③都含有全称量词． 2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 答案　D 解析　由于所给的等式∀a，b∈R均成立，故改写为全称量词命题为“∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”．故选D. 3．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．存在x∈R，使得x2＝x D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 答案　D 解析　A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，因为方程x2－ax－1＝0的Δ＝a2＋4>0恒成立，所以B是假命题，D是