1.4.2 充要条件-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 1．4.2　充要条件 知识点一　充要条件 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 答案　D 解析　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 3．[多选](2023·山东枣庄三中高一月考)对任意实数a，b，c，下列命题中为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案　CD 解析　对于A，因为a＝b时，ac＝bc成立，ac＝bc且c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误；对于B，a＝－1，b＝－2，a>b时，a2<b2；a＝－2，b＝1，a2>b2时，a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为a<3时，一定有a<5成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确；对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选CD. 知识点二　从集合的角度看充分条件、必要条件和充要条件 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　充分性：当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1，2，3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 5．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“2<a<3”是“B⊆A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，B⊆A，∴解得2≤a≤3，∴2<a<3⇒B⊆A，反之不成立．故选A. 知识点三　充要条件的证明与应用 6．已知A＝{x|3x＋a≥0}，B＝{x|x≥2}，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝________． 答案　－6 解析　由3x＋a≥0得x≥－.由题意知＝{x|x≥2}，所以－＝2，a＝－6. 7．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx. 当x＝0时，y＝0. 所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)． ②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)， 所以0＝0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 8．(2023·上海市复旦中学高一期中)求证：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2. 证明　充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，则等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2显然对任意实数x恒成立，充分性成立． 必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立， 分别将x＝0，x＝1，x＝－1代入可得 解得必要性成立． 故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2. 9．[易错题]已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明　充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立． 必要性：若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0， ∴a4－(b2＋1)2＝0， ∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0， ∵a2＋b2＋1≠0， ∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1成立． 综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. [易错分析]　本题错误的根源在于分不清充分性、必要性．只知分两步证明，但没有具体分清．解题时最好还原成定义形式，再加以证明． 一、选择题 1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝