1.4.1 充分条件与必要条件-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 1．4.1　充分条件与必要条件 知识点一　充分条件与必要条件的判断 1．若集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x≤0或x≥5}，则“x∈P”是“x∈∁RQ”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵Q＝{x|x≤0或x≥5}，∴∁RQ＝{x|0<x<5}．又集合P＝{1，2，3，4}，∴x∈P⇒x∈∁RQ，但x∈∁RQx∈P，∴“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分条件但不是必要条件． 2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要条件但不是充分条件是(　　) A．a<0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 答案　C 解析　设一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)的两根为x1，x2，∵两根一正一负，∴Δ＝4－4a>0且x1x2＝<0，∴a<0.又a<1a<0，但a<0⇒a<1，∴“a<1”是“a<0”的必要条件但不是充分条件．故选C. 3．(2023·湖南省娄底市新化县高一期末)已知x，y∈R，则“xy>0”是“x>0，y>0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　取x＝y＝－1，满足xy>0，但不满足x>0，y>0，故“xy>0”不是“x>0，y>0”的充分条件；若x>0，y>0，则xy>0，故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要条件．故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要条件但不是充分条件．故选B. 4．(2023·福建省龙岩北大附属实验学校高一月考)已知A＝{x|x<a}，B＝{x|x≤b}，p：x∈A，q：x∈B. (1)若A⊆B，且a＝2，求b的取值范围，并判断p是q的什么条件； (2)若B⊆A，且b＝2，求a的取值范围，并判断p是q的什么条件． 解　(1)因为A⊆B，且a＝2， 所以a≤b，即b≥2， 此时A真包含于B，所以p是q的充分条件但不是必要条件． (2)因为B⊆A，所以b<a，则有a>2， 此时B真包含于A，所以p是q的必要条件但不是充分条件． 5．[易错题]判断下列说法是否正确，如果不正确，分析错误的原因． (1)x2＝x＋2是x＝x2的充分条件； (2)x2＝x＋2是x＝x2的必要条件． 解　(1)x2＝x＋2⇒x＝±， x＝±⇒x2＝±x， 故x2＝x＋2x＝x2.故说法错误． (2)x＝x2⇒x＝0或＝x(其中x为正数)， 故x＝x2x2＝x＋2.故说法错误． [易错分析]　本题容易忽略题目中的隐含条件致误． 知识点二　充分条件、必要条件的应用 6．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案　{a|－1≤a≤5} 解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以即所以－1≤a≤5. 7．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的一个充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案　{m|m>1} 解析　由题意，得AB，即解得m>1. 8．设p：a－1≤x≤a＋1，q：2≤x≤3. (1)当a＝0时，判断p是q的什么条件； (2)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，p：－1≤x≤1，q：2≤x≤3，显然p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (2)p：a－1≤x≤a＋1，q：2≤x≤3. 因为p是q的必要条件但不是充分条件， 所以或 解得2≤a≤3. 所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}． 一、选择题 1．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　A 解析　若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分条件但不是必要条件． 2．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　B 解析　因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要条件但不是充分条件．故选B. 3．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件的