5.7 三角函数的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 知识点一　建立三角函数模型的应用题 1．下表是某地2013～2022年的月平均气温(单位：华氏度)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 用x表示月份减1，y表示平均气温，建立y关于x的函数． (1)作出散点图； (2)下面四个函数模型中，哪一个最适合这些数据(其中A>0)? ①＝cosx；②＝cosx；③＝cosx；④＝sinx. 解　(1)散点图如图所示： (2)①②中的函数模型，当x由0变化到6时，y的值逐渐减小，不满足题意；④中的函数模型，当x由0变化到6时，y的值先增大后减小，不满足题意；经验证知③中的函数模型适合这些数据． 知识点二　三角函数在物理学中的应用 2.[多选](2023·福建莆田一中高一月考)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，时间t(s)与小球相对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是h＝2sin，t∈[0，＋∞)．下列说法正确的是(　　) A．小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处 B．最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C．往复振动一次需2π s D．π s时小球达到最低点 答案　ABC 解析　令t＝0，得h＝，即小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处，A正确；由h＝2sin，知h的最大值为2，最小值为－2，则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm，B正确；函数的周期T＝2π，即往复振动一次需2π s，C正确；当t＝π时，h＝2sin＝2×＝－≠－2，D错误．故选ABC. 3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ). (1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 解　(1)由题图可知，A＝300， T＝－＝， ∴ω＝＝100π， ∴I＝300sin(100πt＋φ)． 将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. ∵|φ|＜，∴φ＝， ∴I＝300sin. (2)由题意知，≤， ∴ω≥200π， ∴正整数ω的最小值为629. 知识点三　三角函数在生活中的应用 4．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 答案　C 解析　因为T＝＝，所以f＝＝80. 5．(2023·山东泰安一中高一月考)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段中，人流量增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 答案　C 解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]．因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 6．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦函数y＝acos(a>0)的一个周期的图象．求当弯脖的直径为12 cm时，余弦函数的解析式． 解　弯脖的周长是函数的一个周期，弯脖周长为12π cm， 由＝12π，得a＝6. 故所求函数的解析式是y＝6cos. 7．[易错题]如图所示，某地夏天8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)． (1)求这一天的最大用电量和最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解　(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象， ∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40. ∵×＝14－8，∴ω＝. ∴y＝10sin＋40. 将x＝8，y＝30代入上式， 又0<φ<π，解得φ＝. ∴所求函数解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]． [易错分析]　本题易错的地方是未准确理解题意，没能由图象得到正确的函数的最小正周期，求第(2)问时，认为T＝14－8＝6，则ω＝.结合A＝10，b＝40，及当x＝8时，y取最小值30，得φ＝.从而得到错误的函数解析式y＝10sin＋40