5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第3课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 知识点一　化简与求值 1．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值为(　　) A．1 B．2 C．tan10° D.tan20° 答案　A 解析　原式＝tan10°tan20°＋tan20°＋tan10°＝＝＝tan30°＝1.故选A. 2．函数f(x)＝cos－cos是(　　) A．周期为π的偶函数 B．周期为2π的偶函数 C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的奇函数 答案　D 解析　因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sinx，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.又f(－x)＝－sin(－x)＝sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．故选D. 3．[多选]若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的值可能是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　ABC 解析　因为sinx＋cosx＝cossinx＋sincosx＝sin，－1≤sin≤1，所以－1≤4－m≤1，解得3≤m≤5.故选ABC. 4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝________． 答案　 解析　因为tan(α＋β)＝，所以1－tanαtanβ＝＝＝，所以tanαtanβ＝1－＝. 5.＝________． 答案　－1 解析　因为tan18°＋tan42°＋tan120°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120° ＝－tan60°tan18°tan42°，所以原式＝－1. 6．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值． 解　sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα ＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα ＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝， ∴sinβ＝－. 又β是第三象限的角，∴cosβ＝－. ∴sin＝sinβcos＋cosβsin ＝－×＋×＝－. 7．(2023·山东济南一中高一期末)已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求tanβ的值． 解　(1)因为tan(π＋α)＝－， 所以tanα＝－， 因为tan(α＋β)＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝. (2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α] ＝， 所以tanβ＝＝. 知识点二　三角函数式的证明 8．证明：sin(α＋β)－2cosαsinβ＝tan(α－β)·[2cosαcosβ－cos(α＋β)]． 证明　左边＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2cosαsinβ ＝sinαcosβ－cosαsinβ ＝sin(α－β)， 右边＝tan(α－β)(2cosαcosβ－cosαcosβ＋sinαsinβ) ＝tan(α－β)(cosαcosβ＋sinαsinβ) ＝tan(α－β)cos(α－β) ＝sin(α－β)， 左边＝右边，等式成立． 9．证明sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin80°sin40°的值． 解　左边＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β ＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β ＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β ＝sin2α－sin2β ＝右边． ∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β. ∴sin220°＋sin80°sin40° ＝sin220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝. 一、选择题 1．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝(　　) A．0 B. C. D．1 答案　D 解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．∵α，β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1. 2．(2023·山东烟台一中月考)已知sin＋cosα＝－，则cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由sin＋cosα＝－，得sin＝－，所以cos＝cos＝sin＝－. 3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　　) A．1 B．