5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 知识点一　两角和与差的余弦公式的应用 1．(2023·福建漳州高一期末)sin7°cos37°－sin83°cos53°＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　sin7°cos37°－sin83°cos53°＝cos83°cos37°－sin83°sin37°＝cos(83°＋37°)＝cos120°＝－.故选A. 2．已知<α<π，tanα＝－，则cos的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　∵<α<π，tanα＝－，∴sinα＝，cosα＝－.∴cos＝cosαcos－sinαsin＝－×－×＝－. 3．已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值． 解　因为＜α＜，所以－＜－α＜0. 因为＜β＜，所以＜＋β＜. 由已知可得cos＝，cos＝－， 则cos(α＋β)＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝－. 因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝. [规律方法]　已知三角函数值求角的步骤：①根据条件确定所求角的范围；②根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限；③结合三角函数值及角的范围求角． 知识点二　两角和与差的正弦公式的应用 4．(2023·河北唐山高一期末)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝________． 答案　 解析　原式＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝. 5．已知cosθ＝，则sin的值为________，sin的值为________． 答案　　 解析　因为cosθ＝，所以sinθ＝＝，所以sin＝sinθcos＋cosθsin＝×＝；sin＝sinθcos－cosθsin＝×－×＝. 6．已知0＜α＜＜β＜π，sinα＝，sin(α＋β)＝，求sinβ的值． 解　由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜， 又sinα＝，sin(α＋β)＝， ∴cosα＝，cos(α＋β)＝－， ∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝. [名师点拨]　解决给值求值问题的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，常见的解题思路：①适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 知识点三　两角和与差的正切公式的应用 7．[多选]若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α，β可能的值为(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　AB 解析　由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，得1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，∴＝，即tan(α＋β)＝.又α，β都是锐角，∴α＋β＝.故A，B符合，C，D不符合．故选AB. 8．求下列各式的值： (1)tan；(2)； (3)； (4)(2023·河北保定二中高一月考)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°. 解　(1)原式＝tan＝＝＝2－. (2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝. (3)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1. (4)∵tan45°＝tan(12°＋33°)＝＝1， ∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°. ∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1. 一、选择题 1.＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　＝＝ ＝＝sin30°＝. 2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　∵α为钝角，且sin＝，∴cos＝－.∴cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－. [名师点拨]　根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到求解的目的．本题的关键是将α＋转化成＋，再利用两角和的余弦公式求解． 3．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．又α为锐角，∴α＝－＝. 4．[多选](2023·江苏省泰州市兴化市楚水实验学校高一阶段测试)对任意的锐角α，β，下列不等关系恒成立的是(　　) A．sin(α＋β)<cos