2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、 方程和不等式 2.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 目录 15分钟对点练 SHI WU FEN ZHONG DUI DIAN LIAN 30分钟综合练 SAN SHI FEN ZHONG ZONG HE LIAN 15分钟对点练 SHI WU FEN ZHONG DUI DIAN LIAN 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 ①②③ 答案 * 知识点一　利用基本不等式比较大小 1．(2023·陕西省渭南市三贤中学高一期中)设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥eq \r(ab).其中所有恒成立的不等式的序号是________． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 * 解析　对于①，a2＋1－a＝a2－2a＋1＋a＝(a－1)2＋a>0，故①正确；对于②，a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时等号成立，且b＋eq \f(1,b)≥2，当且仅当b＝1时等号成立，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4，故②正确；对于③，(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋1≥2＋2＝4，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，即a＝b时等号成立，故③正确；对于④，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))＝eq \f(2,\r(ab))，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \f(2,\f(2,\r(ab)))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，故④不正确． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 解 * 2．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2eq \r(ab)，2ab中的最大者． 解　∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2eq \r(ab)，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b. ∴a＋b最大． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 证明 * 知识点二　利用基本不等式证明不等式 3．已知a，b，c∈R，求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)≥eq \r(2)(a＋b＋c)． 证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2＋b2≥eq \f((a＋b)2,2)， ∴eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R，当且仅当a＝b≥0时等号成立)． 同理，eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)(当且仅当b＝c≥0时等号成立)， eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋c)(当且仅当a＝c≥0时等号成立)． 三式相加得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(a＋c)＝eq \r(2)(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c≥0时等号成立)． 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 证明 * 4．已知x>0，y>0，z>0，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8. 证明　因为x>0，y>0，z>0， 所以eq \f(y,x)＋eq \f(z,x)≥eq \f(2\r(yz),x)>0，当且仅当y＝z时等号成立， eq \f(x,y)＋eq \f