5.3.2 正切函数的图象与性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.3.2　正切函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正切函数的图象，掌握正切函数的周期性，会求函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数的性质(奇偶性、单调性).3.掌握正切函数的定义域． 教学重点：正切函数的图象和性质． 教学难点：能够利用正切函数的图象和性质解决有关问题． 核心素养：1.借助正切函数的图象研究问题培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用提升逻辑推理素养. 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象 (2)正切函数的图象称为正切曲线. (3)正切函数的图象特征 正切曲线由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成． 知识点二　正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期性 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上单调递增 对称中心 ，k∈Z (1)画函数y＝tanx，x∈上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点，(0,0)，，再画两条平行的虚线x＝－，x＝，最后连线． (2)虽然正切函数y＝tanx在(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是直线x＝kπ±，k∈Z.(　　) (4)正切函数在某个区间上是减函数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)下列函数中同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为2π；③是奇函数的是(　　) A．y＝tanx B．y＝cosx C．y＝tan D．y＝－tanx (2)y＝的定义域为(　　) A．2kπ－<x<2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ－<x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋≤x<kπ＋(k∈Z) (3)f(x)＝tan的最小正周期为________. (4)函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________. 答案　(1)C　(2)D　(3)　(4)(－，1) 题型一 正切函数的图象问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　作出函数y＝tanx＋2，x∈的简图． [解]　解法一：可以先作出函数y＝tanx，x∈的图象，再将函数y＝tanx，x∈的图象上所有的点向上平移2个单位长度，所得图象即函数y＝tanx＋2，x∈的图象，如图所示． 解法二：(三点两线法) ①列表： x － 0 tanx －1 0 1 tanx＋2 1 2 3 ②画x＝－，x＝两条虚线，描点． ③用光滑曲线连接，如图所示． (1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性． (2)正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线． [跟踪训练1]　画出函数y＝2tan在x∈[0,2π]上的简图． 解　令x－＝＋kπ，k∈Z，可得x＝＋2kπ，k∈Z，又x∈[0,2π]，所以x＝是该函数图象的一条渐近线方程． 当x＝0时，y＝2tan＝－2； 当x＝π时，y＝2tan＝2； 当x＝2π时，y＝2tan＝－2. 令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z， 由于x∈[0,2π]，故当x＝时，y＝0.描点(0，－2)，，(π，2)，(2π，－2)，画虚线x＝，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示． 题型二 与正切函数有关的定义域问题 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝tan； (2)y＝ . [解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)， 得x≠kπ＋(k∈Z)． 所以函数y＝tan的定义域为. (2)由－tanx≥0，得tanx≤ . 结合y＝tanx的图象可知，在上， 满足tanx≤ 的角x应满足－<x≤. 所以函数y＝ 的定义域为. 解决与正切函数有关的定义域问题的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，由ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. [跟踪训练2]　(1)函数y＝tan的定义域为________. 答案　 解析　要使