5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第2课时　正弦函数、余弦函数的性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.掌握正弦函数、余弦函数的周期性、最大(小)值、奇偶性、单调性． 教学重点：正弦函数、余弦函数的性质． 教学难点：正弦函数、余弦函数性质的应用． 核心素养：通过学习正弦函数、余弦函数的性质培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养. 知识点一　函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期. 知识点二　正弦函数、余弦函数的性质 函数名称 函数性质 y＝sinx y＝cosx 相同处 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不同处 图象 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上是增函数； 在(k∈Z)上是减函数 在[(2k＋1)π，(2k＋2)π](k∈Z)上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 1．周期函数 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数T； ②对于定义域内的每一个值x，都有x±T属于这个定义域； ③满足f(x±T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 2．正弦函数、余弦函数的最值与对称性 (1)明确正弦函数、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值． (4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． (5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0. 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称． (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． (3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用． 4．正弦函数、余弦函数的单调性 (1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的单调性的判断方法来判断． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期．(　　) (2)函数y＝sin2x是奇函数．(　　) (3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　) (4)在区间[0,2π]上，函数y＝sinx仅在x＝时取得最大值1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin2x C．y＝cos D．y＝cos4x (2)函数y＝－cosx在区间上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 (3)下列x的取值中，能使函数f(x)＝2sin取得最大值的是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ (4)函数y＝sinx的值域为________. 答案　(1)D　(2)C　(3)C　(4) 题型一 函数周期性的判断