5.1.1 角的概念的推广-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 5.1.1　角的概念的推广 (教师独具内容) 课程标准：了解任意角的概念，理解象限角、终边相同的角的概念并会用集合符号表示这些角． 教学重点：掌握终边相同的角的含义及表示方法． 教学难点：用集合符号表示终边相同的角． 核心素养：1.通过角的概念的推广过程提升数学抽象素养和直观想象素养.2.借助终边相同的角的计算提升数学运算素养.3.通过任意角的终边位置的确定培养逻辑推理素养. 知识点一　角的相关概念 (1)角的概念 角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形． (2)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角 负角 一条射线绕着端点以顺时针方向旋转所成的角 零角 一条射线不旋转所成的角，用0°表示 知识点二　象限角 (1)取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角． (2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点三　终边相同的角 设α表示任意角，则可以把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，角β就是角α本身． 1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小； (3)要明确射线未作旋转时的位置． 2．象限角的集合表示 角α的终边所在象限 集合表示 第一象限 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3．轴线角的集合表示 角α的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的非负半轴 {α|α＝k·360°，k∈Z} x轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} y轴的非负半轴 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} y轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 注意：(1)象限角与轴线角的集合表示形式不唯一． (2)象限角只反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角比第一象限角大． 4．对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一； (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角．(　　) (2)终边与始边重合的角为零角．(　　) (3)第二象限角是钝角．(　　) (4)－30°角是第四象限角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．220°＋k·360°(k∈Z) B．240°＋k·360°(k∈Z) C．60°＋k·360°(k∈Z) D．260°＋k·360°(k∈Z) (2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________. 答案　(1)B　(2)k·360°，k∈Z 题型一 正确理解角的概念 例1　下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 [解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C． [答案]　C 1．理解角的概念的三个“明确” 常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°. 2．理解与角的概念有关问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． (2)技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． [跟踪训练1]　(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了(　　) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 答案　B 解析　钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B. (2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺