4.3.1 对数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 4.3.1　对数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念.2.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质． 教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的转化． 核心素养：借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题培养数学抽象 素养和数学运算素养. 知识点一　对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数. 知识点二　对数与底数的关系 (1)对数的基本恒等式 ①alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)； ②b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)． (2)底的对数为1，即logaa＝logaa1＝1. 1的对数为0，即loga1＝logaa0＝0. 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)log32＝x化成指数式为2x＝3.(　　) (3)因为(－2)2＝4，所以log(－2)4＝2.(　　) (4)log53与log35的意义相同．(　　) (5)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有(　　) A．logaM＝2 B．log2M＝a C．loga2＝M D．log2a＝M (2)log31＋log55＝________. (3)将对数式x＝log28化为指数式为________. (4)已知log3＝0，则x＝________. 答案　(1)A　(2)1　(3)2x＝8　(4)2 题型一 对数的概念 例1　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A. B． C. D． [解析]　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为，故选C. [答案]　C (2)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4 [解析]　由题意，得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 对数有意义的条件 对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． [跟踪训练1]　若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围． 解　若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>，且x≠1. 即x的取值范围是. 题型二 指数式与对数式的互化 例2　将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝；(2)log32＝－5； (3)34＝81；(4)log525＝2. [解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7. (2)由log32＝－5，可得－5＝32. (3)由34＝81，可得log381＝4. (4)由log525＝2，可得52＝25. 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟踪训练2]　将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)43＝64；(4)－2＝16. 解　(1)由log216＝4可得24＝16. (2)由log27＝－3可得－3＝27. (3)由43＝64可得log464＝3. (4)由－2＝16可得log16＝－2. 题型三 利用指数式与对数式的关系求值 例3　(1)求下列各式中x的值： ①log27x＝－；②logx16＝－4. [解]　①因为log27x＝－， 所以x＝27－＝(33)－＝3－2＝. ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24. 所以4＝24，所以＝2，即x＝. (2)求下列各式的值： ①log5125；②log2. [解]　①设x＝log5125，则5x＝125＝53， 所以x＝3， 即log5125＝3. ②设x＝log2，则