2.3.2 一元二次不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 2.3.2　一元二次不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题． 教学重点：利用一元二次不等式解决实际问题． 教学难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． 核心素养：借助一元二次不等式在实际问题中的应用培养数学建模素养. 知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用一元二次不等式解决实际问题时，要理解题意，分析清楚量与量之间的关系．(　　) (2)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．(　　) 答案　(1)√　(2)√ 2．做一做 (1)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x≤20} B．{x|20≤x≤30} C．{x|15≤x≤30} D．{x|10≤x≤30} (2)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________. 答案　(1)D　(2) 题型一 利用一元二次不等式判断车速 例1　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) [解]　设这辆汽车刹车前的车速为x km/h， 根据题意，得x＋x2＞39.5. 移项整理，得x2＋9x－7110＞0. 显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根， 即x1≈－88.941，x2≈79.941. 然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得 不等式的解集为{x|x＜－88.941，或x＞79.941}． 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.95 km/h. 一元二次不等式应用题常以一元二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． [跟踪训练1]　汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 解　由题意，知对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1200>0， 解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0， 解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任. 题型二 利用一元二次不等式解决面积问题 例2　某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式； (2)要使仓库ABCD占地的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， 所以＝，即＝， 解得AD＝20－x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式为S＝20x－x2(0<x<30)． (2)要使仓库ABCD占地的面积不少于144平方米， 即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18，所以AB长度的范围为[12,18]． 解答不等式应用题，首先要认真审题，弄清题意，建立合理的不等式模型，防止在解答本题时，建立不正确的不等式20x－x2≤144，错误的原因是对“不少于”含义的错误理解． [跟踪训练2]　要在长为800 m、宽为600 m的一块长方形地面