2.2 从函数观点看一元二次方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) (教师独具内容) 课程标准：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.了解一元二次函数的零点与方程根的关系.3.掌握一元二次方程根与系数的关系． 教学重点：1.利用一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.一元二次方程根与系数的关系． 教学难点：一元二次方程根与系数的关系． 核心素养：通过利用一元二次函数的图象判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数培养直观想象素养. 知识点一　二次函数与一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根l 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数的零点是一个点．(　　) (2)二次函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2.(　　) (3)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知某函数的图象如图所示，则此函数的零点为________. (2)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________. (3)已知α，β是函数y＝x2＋2x－7的两个零点，则α2－2αβ＋β2＝________. 答案　(1)0.3,2　(2)0，－3　(3)32 题型一 结合函数图象判断方程根的情况 例1　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，求m的取值范围． [解]　(1)观察图象可知，二次函数的图象与x轴交于(－1,0)，(2,0)，故方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝2. (2)若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m有两个不同的交点，观察图象可知，二次函数图象的顶点纵坐标为－，所以m的取值范围为m＞－. (1)求方程的根有两种方法：①令y＝0，求出的x值就是方程的根；②画出函数的图象，图象与x轴交点的横坐标就是方程的根． (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝m的交点个数分别为2,1,0，则方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根． [跟踪训练1]　根据函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个根． (1)－x2－x＋6＝0；(2)x2－2x－15＝0； (3)4x2－3x＝6x2＋5；(4)x2－6x＋4＝－2x. 解　(1)－x2－x＋6＝0，即x2＋x－6＝0. 令y＝x2＋x－6，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个不相等的实数根． (2)令y＝x2－2x－15，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个不相等的实数根． (3)4x2－3x＝6x2＋5，即2x2＋3x＋5＝0. 令y＝2x2＋3x＋5，其图象如图所示． 由图可知原方程没有实数根． (4)x2－6x＋4＝－2x，即x2－4x＋4＝0. 令y＝x2－4x＋4，其图象如图所示． 由图可知原方程有两个相等的实数根. 题型二 一元二次方程根与系数的关系 例2　已知二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，－6)，与x轴的两个交点的横坐标的平方的倒数和为，求二次函数的表达式． [解]　由二次函数的图象与y轴交于点(0，－6)知，c＝－6. 设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是一元二次方程2x2＋bx－6＝0的两个根，由根与系数的关系知x1＋x2＝－，x1x2＝－3，＋＝＝＝＝，解得b＝±3. 故所求二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－6或y＝2x2－3x－6. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系为x1＋x2＝－，x1x2＝.根据题中所给条件进行灵活变形． [跟踪训练2]　二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值； (2)若△ABC的面积为105，求p的值． 解　(1)由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84＞0，所以方程有两个不同的实根， 易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根，则 ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42