1.2.2 充分条件和必要条件-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 1.2.2　充分条件和必要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系． 教学重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性． 核心素养：1.通过充要条件的判断提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用培养数学运算素养. 知识点一　充分条件与必要条件 (1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. (2)p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的． 自然地，若，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件． (3)充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关． 知识点二　充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件.当然，此时q也是p的充分必要条件． 换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件． 1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p⇔q，则p是q的充要条件． (3)若p⇒q，且qp，则称p是q的充分而不必要条件． (4)若pq，且q⇒p，则称p是q的必要而不充分条件． (5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分又不必要条件． 2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且B⃘A，即AB，则p是q的充分而不必要条件． (5)若B⊆A且A⃘B，即BA，则p是q的必要而不充分条件． (6)若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件． 3．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分而不必要条件．(　　) (5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_____________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) (3)如果不等式x≤m成立的充分而不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________. 答案　(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)2 题型 一充分条件、必要条件的判断 例1　判断下列说法中，p是q的充分条件的是________. ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”； ③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0. [解析]　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件； ②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件； ③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件． [答案]　①③ 充分条件的两种判定方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． [跟踪训练1]　设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件． 解　由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件． 例2　在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． [解]　(1)∵