第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 知识系统整合 堵点自记：________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________　 规律方法收藏 1．比较数(式)的大小 (1)依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. (2)适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． (3)步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． (4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、拆分”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解． (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象． (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤如下： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案. 学科素养培优 一、不等关系与不等式的性质 当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂的乘积形式时，常用作商法比较大小． 作差法，步骤如下：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 作商法，步骤如下：①作商；②变形；③判断商与1的关系；④结论． [典例1]　(1)下列结论正确的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D．若 < ，则a<b (2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较＋与a＋b的大小． 解析　(1)对于A，当c大于零时才成立，故A错误；对于B，结论应该为|a|>|b|，故B错误；对于C，不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错误；D项涉及不等式的乘方运算性质，D正确． (2)因为－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)＝(a2－b2)＝， 又a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b. 答案　(1)D　(2)见解析 二、利用基本不等式求最值 基本不等式的主要应用是求最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解答此类问题的关键是创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． [典例2]　已知x<－1，求的最大值． 解　∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ＝－＋5≤－2＋5 ＝1， 当且仅当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取等号． 故的最大值为1. 三、不等式恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种： (