5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第2课时　正弦函数、余弦函数的性质 第5章　三角函数 课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.掌握正弦函数、余弦函数的周期性、最大(小)值、奇偶性、单调性． 教学重点：正弦函数、余弦函数的性质． 教学难点：正弦函数、余弦函数性质的应用． 核心素养：通过学习正弦函数、余弦函数的性质培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE f(x±T)＝f(x) T 最小正周期 正数 正数 知识点二　正弦函数、余弦函数的性质 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 Z) Z) (k∈Z) 1．周期函数 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数T； ②对于定义域内的每一个值x，都有x±T属于这个定义域； ③满足f(x±T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 2．正弦函数、余弦函数的最值与对称性 (1)明确正弦函数、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值． (4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． (5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0. 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称． (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． (3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用． 4．正弦函数、余弦函数的单调性 (1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的单调性的判断方法来判断． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期．(　　) (2)函数y＝sin2x是奇函数．(　　) (3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　) × √ × √ 答案 答案 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 函数周期性的判断 解 解 解 求三角函数周期的方法 方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解； 方法二：观察法(图象法)． 注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1. 解 题型二 函数奇偶性的判断 解 解 解 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则． 解　(1)f(x)＝xsinx的定义域为R.由于f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，故f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域为R，由已知可得f(x)＝sinxcosx. 因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 解 解 题型三 函数的单调性及应用 解 (2)求函数y＝－2sinx－1的单调递增区间． 解 1．求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2．利用正弦函数单调性比较大小的步骤 (1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (2)二比较：利用函数的单调性比较大小． 解 解 解 题型四 求函数的值域或最值 解 解 与正弦函数有关的