4.4.1 方程的根与函数的零点-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

4.4　函数与方程 4.4.1　方程的根与函数的零点 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 课程标准：1.了解函数零点与方程的根的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点的分布情况． 教学重点：函数零点的存在情况． 教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数． 核心素养：1.借助函数零点的求法培养数学运算素养和逻辑推理素养.2.借助函数的零点同方程根的关系培养直观想象素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 方程f(x)＝0的实数根 连续变化 f(a)·f(b)<0 (3)对连续函数y＝f(x)，由f(a)·f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)对连续函数y＝f(x)，由f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0. × × × × 答案 (3)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若ac＜0，则函数有________个零点． (4)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(1)＜0，f(1.3)＜0，f(1.5)＞0，则可以确定零点所在的区间为__________. 2 (1.3,1.5) 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法： (1)令y＝0，方程f(x)＝0的根就是函数的零点； (2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 解 (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解 [解]　(1)Δ＝m2－4×1×1＝m2－4， ①当Δ<0，即m2－4<0时，解得－2<m<2，此时方程f(x)＝0无解，函数无零点； ②当Δ＝0，即m2－4＝0时，解得m＝±2，此时方程f(x)＝0有两个相等的实数根，函数只有一个零点； 解 题型二 判断函数零点的个数 解 判断函数零点的个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断，即转化为方程f(x)＝0根的个数． (2)结合函数图象进行判断，即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数． (3)借助函数的单调性进行判断． 答案 解析 答案 解析　令g(x)＝0，得f(x)＝－x＋3，画出函数f(x)和y＝－x＋3的图象，如图所示： 函数g(x)的零点个数即f(x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B. 解析 例3　方程ex＋x－2＝0的根所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [解析]　解法一：令f(x)＝ex＋x－2， ∵f(x)单调递增，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， ∴方程f(x)＝0在(0,1)内恰有一个根． 解法二：令ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以方程的根所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)． 答案 解析 题型三 判断方程根的分布情况 确定方程f(x)＝0的根所在区间的常用方法 (1)解方程法：当方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则方程f(x)＝0在区间(a，b)内必有实数根． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 提醒：f(a)·f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 解析　设f(x)＝ex－3x－2，由表格知f(0)＝1－2＜0，f(1)≈2.72－5＜0，f(2)≈7.39－8＜0，f(3)≈20.09－11＞0，f(4)≈54.60－14>0.所以f(2)·f(3)＜0，f(x)在(2,3)上存在零点，所以方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(2,3)． [跟踪训练3]　(1)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2)