第4章 幂函数、指数函数和对数函数 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

章末复习 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 1 知识系统整合 PART ONE 2 规律方法收藏 PART TWO 1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点． 3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决． 4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 6．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么存在x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 注意：由f(a)·f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点x0，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 3 学科素养培优 PART THREE 一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论． 答案 解析 2 比较大小问题 比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等． 答案 解析 [典例3]　比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小． 解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0,20.3>20＝1，∴log20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3. 解 3 与指数、对数函数相关的单调性问题 [典例4]　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解 解 答案 解析 2 根据函数解析式确定图象 [典例6]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　) 答案 解析　由f(4)·g(－4)<0知a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都是减函数． 解析 解　(1)画出函数f(x)的图象，如图①，从图象可以看出，图象与x轴没有交点，故函数f(x)没有零点． (2)从图①可以看出f(x)>0. 对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了． 所以k应限制为－1<k<0.几何解释如图②. 解 (3)有．由2x－1＝0，得x＝0；由－x－1＝0，得x＝－1.x＝0和x＝－1均是函数g(x)的零点． 解 h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)． (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解　(1)用h(x)