专题2-2 基本不等式16种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 2.2 基本不等式16种题型归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】均值公式取等条件 · 【题型二】公式基础：对构型 · 【题型三】公式基础：有和求积型 · 【题型四】公式基础：有积求和型 · 【题型五】分离常数型 · 【题型六】“1”的代换：常数代换型 · 【题型七】“1”的代换：分母为整体代换 · 【题型八】“1”的代换：同除积型 · 【题型九】 造积的一元二次型 · 【题型十】 构造和的一元二次型 · 【题型十一】 反解代入消元型 · 【题型十二】 整体换元化简型 · 【题型十三】 二次型因式分解型 · 【题型十四】 三元均值型 · 【题型十五】 均值用两次型 · 【题型十六】 万能“K”法 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】 均值公式取等条件 【典例分析】 1.（2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2023·全国·高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【变式演练】 1.（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 2.（2023秋·全国·高一随堂练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 3.（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【题型二】公式基础型：对勾型 【典例分析】 1.（2021·全国·高一专题练习）设a>0，则的最小值为（       ） A． B．2 C．4 D．5 2.（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【提分秘籍】 1.对勾型 ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 2.对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 【变式演练】 1.（2020·北京·临川学校高一阶段练习）已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（    ） A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ 2.（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（       ） A． B． C．0 D．2 3.（2021·辽宁朝阳·高一期中）若关于x的方程的两个根为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【题型三】公式基础：有和求积型 【典例分析】 1.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（       ） A．3 B． C． D． 2.（2020·吉林省实验中学高一阶段练习）正实数a，b满足，当（       ）时，取得最大值. A． B． C． D． 【提分秘籍】 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 【变式演练】 1.（2022·全国·高一课时练习）若、，且，则的最小值为（       ）． A． B． C． D． 2.（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 3.（2021·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（       ） A．4 B． C．2 D． 【题型四】公式基础：有积求和型 【典例分析】 1.（2023春·河南周口·高一统考期末）已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 1.（2021秋·北京丰台·高一统考期中）